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前面介绍了在自变量的各种变化过程中函数极限的定义，它们在理论上是重要的，但极限的定义并没有给出求极限的具体方法，只能验证极限的正确性。下面给出一些求极限的方法，本节主要介绍极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则.
定理 1 在同一极限过程中，若lim f （ x ）＝ A ，lim g （ x ）＝ B ，则
（1），（2）可推广到有限多个函数的情况，且由此定理可得到下面的推论：
推论 1 若lim f （ x ）＝ A ， C 为常数，则
lim [ C · f （ x ）]＝ C lim f （ x ）＝ CA.
也就是说， 求极限时常数因子可提到极限符号外面， 因为lim C ＝ C.
推论 2 若lim f （ x ）＝ A ， n ∈N，则
lim [ f （ x ）] n ＝ [lim f （ x） ] n ＝ A n .
例 1
求
（2x
3
－x
2
＋3）.
解
（2x
3
－x
2
＋3）＝
一般地，设多项式为
P（x）＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ …＋ a n－ 1x n－ 1 ＋ a n x n ，
则有
即
注 ：多项式函数求极限，直接代入即可.
例 2
求
解 因为分母的极限不等于 0，所以由运算法则（3）有
一般地，设
P
（
x
），
Q
（
x
）是多项式，称
F
（
x
）＝
为有理分式函数。由于
（
x
）＝
P
（
x
0
），
（
x
）＝
Q
（
x
0
），若
Q
（
x
0
）≠0，则
注： 有理分式函数，若分式的极限不为零时，函数的极限值等于函数值.
例 3
求
解
因分母的极限为 0，所以不能用商的极限运算法则（3），但是
（
x
＋2）＝ 4≠0，所以可先求出
再由无穷小与无穷大的关系，得
例 4
求
解
当
x
→2 时，由于分子分母的极限均为零，这种情形称为“
”型，对此情形不能直接运用极限运算法则，通常应设法去掉分母中的“零因子”.
所以
注：
型有理分式，先用因式分解法消去零因子，然后用商的运算法则求出极限.
例 5
求
解
此极限仍属于“
”型，可采用二次根式有理化的办法去掉分母中的“零因子”.
注：
型无理分式，先用有理化法消去零因子，然后用商的运算法则求出极限.
例 6
求
解
当
x
→∞时，其分子分母均为无穷大，这种情形称为“
”型。所以不能运用商的极限运算法则，通常应设法将其变形.
例 7
求
解 当 x →∞时，分子分母均趋于∞ ，可将分子分母同除以分母中自变量的最高次幂，即得
一般地，设 a 0 ≠0， b 0 ≠0， m ， n 为正整数，则有
注：
型有理分式，取最大项法求极限，即分子分母同时除以分子分母中自变量的最高∞∞次幂.
例 9
求
.
解
当
x
→1 时，
与
均为无穷大（这种类型的极限称为“∞ －∞”型未定式），极限都不存在，所以不能用差的极限运算法则，可以先通分，使其变为“
”型未定式再求极限.
注： ∞ －∞型，通分转化为有理分式的极限.
例 10
求
.
解 当 n →∞时，每一项都趋于 0，这是无穷个无穷小的和。因为有无穷多项，所以不能用和的极限运算法则，但可经过变形再求出极限.
注： 有限个无穷小的和为无穷小，但无限个无穷小的和不一定为无穷小.
下面讨论复合函数的极限运算法则，先看一个例子：求当
x
→1 时，函数
y
＝
的极限。由于函数y ＝
由
y
＝ e
u
和
u
＝
x
2
－1 复合而成。当
x
→1 时，
u
＝
x
2
－1 趋于 0；而当
u
→0 时，
y
＝ e
u
趋于 1，因此有
＝ 1 ＝
e
u
.
定理 2
设函数
y
＝
f
[
φ
（
x
）]是由
y
＝
f
（
u
），
u
＝
φ
（
x
）复合而成的，如果
（
x
）＝
u
0
，
＝
A
，则
定理 2 表明，在一定条件下，可运用换元法计算极限。复合函数求极限时，可作变量替换，令
u
＝
φ
（
x
），则
u
[
φ
（
x
）]＝ l
→
im
u0
f（
u
）＝
A
.
例 1
1 求
.
解 令 u ＝ sin x ，因为 x →0 时 u →0，所以
例 12
求
sin（ln
x
）.
解 令 u ＝ ln x ，因为 x →1 时 u →0，所以
例 13
求
解
令
u
＝
，因为
x
→8 时，
u
→2，所以
1.下列运算正确吗？为什么？
2.求下列极限.
