前面介绍了在自变量的各种变化过程中函数极限的定义,它们在理论上是重要的,但极限的定义并没有给出求极限的具体方法,只能验证极限的正确性。下面给出一些求极限的方法,本节主要介绍极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则.
定理 1 在同一极限过程中,若lim f ( x )= A ,lim g ( x )= B ,则
(1),(2)可推广到有限多个函数的情况,且由此定理可得到下面的推论:
推论 1 若lim f ( x )= A , C 为常数,则
lim [ C · f ( x )]= C lim f ( x )= CA.
也就是说, 求极限时常数因子可提到极限符号外面, 因为lim C = C.
推论 2 若lim f ( x )= A , n ∈N,则
lim [ f ( x )] n = [lim f ( x) ] n = A n .
例 1 求 (2x 3 -x 2 +3).
解 (2x 3 -x 2 +3)=
一般地,设多项式为
P(x)= a 0 + a 1 x + …+ a n- 1x n- 1 + a n x n ,
则有
即
注 :多项式函数求极限,直接代入即可.
例 2 求
解 因为分母的极限不等于 0,所以由运算法则(3)有
一般地,设 P ( x ), Q ( x )是多项式,称 F ( x )= 为有理分式函数。由于 ( x )= P ( x 0 ), ( x )= Q ( x 0 ),若 Q ( x 0 )≠0,则
注: 有理分式函数,若分式的极限不为零时,函数的极限值等于函数值.
例 3 求
解 因分母的极限为 0,所以不能用商的极限运算法则(3),但是 ( x +2)= 4≠0,所以可先求出
再由无穷小与无穷大的关系,得
例 4 求
解 当 x →2 时,由于分子分母的极限均为零,这种情形称为“ ”型,对此情形不能直接运用极限运算法则,通常应设法去掉分母中的“零因子”.
所以
注: 型有理分式,先用因式分解法消去零因子,然后用商的运算法则求出极限.
例 5 求
解 此极限仍属于“ ”型,可采用二次根式有理化的办法去掉分母中的“零因子”.
注: 型无理分式,先用有理化法消去零因子,然后用商的运算法则求出极限.
例 6 求
解 当 x →∞时,其分子分母均为无穷大,这种情形称为“ ”型。所以不能运用商的极限运算法则,通常应设法将其变形.
例 7 求
解 当 x →∞时,分子分母均趋于∞ ,可将分子分母同除以分母中自变量的最高次幂,即得
一般地,设 a 0 ≠0, b 0 ≠0, m , n 为正整数,则有
注: 型有理分式,取最大项法求极限,即分子分母同时除以分子分母中自变量的最高∞∞次幂.
例 9 求 .
解 当 x →1 时, 与 均为无穷大(这种类型的极限称为“∞ -∞”型未定式),极限都不存在,所以不能用差的极限运算法则,可以先通分,使其变为“ ”型未定式再求极限.
注: ∞ -∞型,通分转化为有理分式的极限.
例 10 求 .
解 当 n →∞时,每一项都趋于 0,这是无穷个无穷小的和。因为有无穷多项,所以不能用和的极限运算法则,但可经过变形再求出极限.
注: 有限个无穷小的和为无穷小,但无限个无穷小的和不一定为无穷小.
下面讨论复合函数的极限运算法则,先看一个例子:求当 x →1 时,函数 y = 的极限。由于函数y = 由 y = e u 和 u = x 2 -1 复合而成。当 x →1 时, u = x 2 -1 趋于 0;而当 u →0 时, y = e u 趋于 1,因此有 = 1 = e u .
定理 2 设函数 y = f [ φ ( x )]是由 y = f ( u ), u = φ ( x )复合而成的,如果 ( x )= u 0 , = A ,则
定理 2 表明,在一定条件下,可运用换元法计算极限。复合函数求极限时,可作变量替换,令 u = φ ( x ),则 u [ φ ( x )]= l → im u0 f( u )= A .
例 1 1 求 .
解 令 u = sin x ,因为 x →0 时 u →0,所以
例 12 求 sin(ln x ).
解 令 u = ln x ,因为 x →1 时 u →0,所以
例 13 求
解 令 u = ,因为 x →8 时, u →2,所以
1.下列运算正确吗?为什么?
2.求下列极限.