2.3 极限的运算法则

前面介绍了在自变量的各种变化过程中函数极限的定义，它们在理论上是重要的，但极限的定义并没有给出求极限的具体方法，只能验证极限的正确性。下面给出一些求极限的方法，本节主要介绍极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则.

2.3.1 极限的四则运算法则

定理 1 在同一极限过程中，若lim f （ x ）＝ A ，lim g （ x ）＝ B ，则

（1），（2）可推广到有限多个函数的情况，且由此定理可得到下面的推论：

推论 1 若lim f （ x ）＝ A ， C 为常数，则

lim [ C · f （ x ）]＝ C lim f （ x ）＝ CA.

也就是说， 求极限时常数因子可提到极限符号外面， 因为lim C ＝ C.

推论 2 若lim f （ x ）＝ A ， n ∈N，则

lim [ f （ x ）] ⁿ ＝ [lim f （ x） ] ⁿ ＝ A ⁿ .

例 1 求 （2x ³ －x ² ＋3）.

解 （2x ³ －x ² ＋3）＝

一般地，设多项式为

P（x）＝ a ₀ ＋ a ₁ x ＋ …＋ a _n－ 1x ^n－ 1 ＋ a _n x ⁿ ，

则有

即

注 ：多项式函数求极限，直接代入即可.

例 2 求

解 因为分母的极限不等于 0，所以由运算法则（3）有

一般地，设 P （ x ）， Q （ x ）是多项式，称 F （ x ）＝ 为有理分式函数。由于 （ x ）＝ P （ x ₀ ）， （ x ）＝ Q （ x ₀ ），若 Q （ x ₀ ）≠0，则

注： 有理分式函数，若分式的极限不为零时，函数的极限值等于函数值.

例 3 求

解 因分母的极限为 0，所以不能用商的极限运算法则（3），但是 （ x ＋2）＝ 4≠0，所以可先求出

再由无穷小与无穷大的关系，得

例 4 求

解 当 x →2 时，由于分子分母的极限均为零，这种情形称为“ ”型，对此情形不能直接运用极限运算法则，通常应设法去掉分母中的“零因子”.

所以

注： 型有理分式，先用因式分解法消去零因子，然后用商的运算法则求出极限.

例 5 求

解 此极限仍属于“ ”型，可采用二次根式有理化的办法去掉分母中的“零因子”.

注： 型无理分式，先用有理化法消去零因子，然后用商的运算法则求出极限.

例 6 求

解 当 x →∞时，其分子分母均为无穷大，这种情形称为“ ”型。所以不能运用商的极限运算法则，通常应设法将其变形.

例 7 求

解 当 x →∞时，分子分母均趋于∞ ，可将分子分母同除以分母中自变量的最高次幂，即得

一般地，设 a ₀ ≠0， b ₀ ≠0， m ， n 为正整数，则有

注： 型有理分式，取最大项法求极限，即分子分母同时除以分子分母中自变量的最高∞∞次幂.

例 9 求 .

解 当 x →1 时， 与 均为无穷大（这种类型的极限称为“∞ －∞”型未定式），极限都不存在，所以不能用差的极限运算法则，可以先通分，使其变为“ ”型未定式再求极限.

注： ∞ －∞型，通分转化为有理分式的极限.

例 10 求 .

解 当 n →∞时，每一项都趋于 0，这是无穷个无穷小的和。因为有无穷多项，所以不能用和的极限运算法则，但可经过变形再求出极限.

注： 有限个无穷小的和为无穷小，但无限个无穷小的和不一定为无穷小.

2.3.2 复合函数的极限运算法则

下面讨论复合函数的极限运算法则，先看一个例子：求当 x →1 时，函数 y ＝ 的极限。由于函数y ＝ 由 y ＝ e ^u 和 u ＝ x ² －1 复合而成。当 x →1 时， u ＝ x ² －1 趋于 0；而当 u →0 时， y ＝ e ^u 趋于 1，因此有 ＝ 1 ＝ e ^u .

定理 2 设函数 y ＝ f [ φ （ x ）]是由 y ＝ f （ u ）， u ＝ φ （ x ）复合而成的，如果 （ x ）＝ u ₀ ， ＝ A ，则

定理 2 表明，在一定条件下，可运用换元法计算极限。复合函数求极限时，可作变量替换，令 u ＝ φ （ x ），则 _u [ φ （ x ）]＝ l _→ im _u0 f（ u ）＝ A .

例 1 1 求 .

解 令 u ＝ sin x ，因为 x →0 时 u →0，所以

例 12 求 sin（ln x ）.

解 令 u ＝ ln x ，因为 x →1 时 u →0，所以

例 13 求

解 令 u ＝ ，因为 x →8 时， u →2，所以

习题 2.3

1.下列运算正确吗？为什么？

2.求下列极限. 973UDVxIN78+zGvFF4jkOyScmq1i2XQENqJPyFyzsO6koxiOmNtFcWHI+JjwqowD