2.2 无穷小与无穷大

在讨论函数的变化趋势时，有两种变化趋势是数学理论研究和处理实际问题经常遇到的，这就是本节要介绍的两个特殊变量：无穷小量与无穷大量.

2.2.1 无穷小

定义 1 若lim α （ x ）＝ 0，则称 α （ x ）为该极限过程中的一个 无穷小量 ，简称 无穷小 .

例如， x ＝ 0，当 x →0 时，函数sin x 是无穷小.

又如， ＝ 0，当 x →∞时，函数 是无穷小.

注： （1）无穷小是极限为 0 的量。除了常数 0 可以作为无穷小外，其他任何常数即便其绝对值很小，都不能是无穷小。即不能认为无穷小就是很小很小的量.

（2）无穷小是相对某极限过程而言的。如对数函数 f （ x ）＝ ln x ，由于 x ＝ 0，故ln x 是当 x →1 时的无穷小。而当 x →∞时，它不是无穷小.

无穷小具有以下性质：

性质 1 有限个无穷小的代数和是无穷小.

性质 2 有界变量与无穷小的乘积是无穷小.

例1 求 x .

解 因为∀ x ∈（－∞，＋∞），sin x ≤1，且 ＝ 0，故由性质 2 得

由性质 2 可以推出下列结论：

推论 1 常数与无穷小的乘积为无穷小.

推论 2 有限个无穷小的乘积为无穷小.

2.2.2 无穷大

定义 2 如果在某极限过程中， 无限地增大，则称函数 f （ x ）为该极限过程中的无穷 大量 ，简称 无穷大 ，记作lim f （ x ）＝ ∞ .且 无限地增大，则称 f （ x ）为负无穷大，记作lim f （ x ）＝ －∞ .

例 2 ＝ ＋∞，即当 x →＋∞时，e ^x 是正无穷大.

若 f （ x ）＞0 且 无限地增大，则称 f （ x ）为正无穷大，记作lim f （ x ）＝ ＋∞ ；若 f （ x ）＜0

x ＝ －∞，即当 x →0 ^＋ 时，ln x 是负无穷大.

注： （1）无穷大是一个变量，这里借用lim f （ x ）＝ ∞表示 f （ x ）是一个无穷大，并不意味着 f （ x ）的极限存在。恰恰相反，lim f （ x ）＝ ∞意味着 f （ x ）的极限不存在.

（2）称一个函数为无穷大时，必须明确指出自变量的变化趋势。对于一个函数，一般来说，自变量趋向不同会导致函数值的趋向不同。例如，函数 y ＝ tan x ，当 x → 时，它为无穷大，而当 x →0 时，它为无穷小.

2.2.3 无穷小与函数极限及无穷大的关系

1）无穷小与函数极限的关系

定理 1 lim f （ x ）＝ A 的充要条件是： f （ x ）＝ A ＋ α （ x ），其中 α （ x ）为该极限过程中的无穷小量.

证 （必要性）设 α （ x ）＝ f （ x ）－ A ，因为lim f （ x ）＝ A. 由极限的运算法则有

lim α （ x ）＝ lim [ f （ x ）－ A ] ＝ lim f （ x ）－ lim A ＝ A － A ＝ 0.

故 α （ x ）是自变量在同一过程中的无穷小.

（充分性）因为 α （ x ）是无穷小，所以lim α （ x ）＝ 0，而 f （ x ）＝ A ＋ α （ x ），故

lim f （ x ）＝ lim [ A ＋ α （ x ）]＝ A －0 ＝ A .

2）无穷小与无穷大的关系

在同一变化过程中，无穷小与无穷大之间有如下关系：

定理 2 在某极限过程中，若 f （x）为无穷大，则 为无穷小量；反之，若 f （ x ）为无穷小量，且 f （ x ）≠0，则 为无穷大.

定理 2 表明，无穷小与无穷大类似于倒数关系.

例 3 求

解 因为 ＝ 0，所以 ＝ ∞ .x→1 x→1 x－1

习题 2.2

1.下列函数在什么情况下为无穷小？在什么情况下为无穷大？

2.求下列函数的极限. hBII55u4SIerXkaHmAXfDSbr0r8T5Gr0kEORkaTC7RFb/F0/L2yT6C4vQsoQcB4W