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定义 1 数列 是定义在自然数集N上的函数，记为 x n ＝ f （ n ）（ n ＝ 1，2，3，…）.由于全体自然数可以排成一列，因此数列就是按顺序排列的一串数：
x 1 ， x 2 ， x 3 ，…， x n ，…
可以简记为｛ x n ｝.数列中的每个数称为数列的 项 ，其中 x n 称为数列的 一般项 或 通项.
下面让我们考察当 n 无限增大时（记为 n →∞ ，符号“→”读作“趋向于”），一般项 x n 的变化趋势.
观察下列数列：
容易看出，数列（1）的项随 n 增大时，其值越来越大，且无限增大；数列（2）的各项值均相同.
为了清楚起见，将数列（3）和数列（4）的各项用数轴上的对应点 x 1 ， x 2 ，…表示，如图 2.1（ a ）、（b）所示.
图 2.1
由图 2.1 可知，当
n
无限增大时，数列
在数轴上的对应点从原点的右侧无限接近于0；数列
在数轴上的对应点从
x
＝ 1 的两侧无限接近于 1.一般地，可以给出如下定义：
定义 2 对于数列｛ x n ｝，如果当 n 无限增大时，一般项 x n 的值无限接近于一个确定的常数 A ，则称 A 为数列｛ x n ｝当 n 趋向于无穷大时的 极限 ，记为
此时，也称数列｛ x n ｝ 收敛 于 A ，而称｛ x n ｝为 收敛数列 .如果数列的极限不存在，则称其为 发散 数列 .
例如，数列
，
是收敛数列，且
而
，｛2
n
｝是发散数列.
下面给出几个常用数列的极限：
数列作为一种特殊的函数，即定义在正整数集合上的函数。研究其极限时，自变量的变化趋势只有一种状态，即自变量 n →＋∞ .现在研究一般函数的极限。根据自变量不同的变化趋势，函数的极限分两类讨论：
对于一般函数 y ＝ f （ x ）而言，当自变量无限增大时，函数值无限接近于一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的.
x →∞是指 x 无限增大，它包含两个方面：一是 x ＞0 且 x 无限增大（记作 x →＋∞）；二是 x ＜0 且 x 无限增大（记作 x →－∞）.
例 1
设函数
f
（
x
）＝
（
x
≠0），如图 2.2 所示，讨论当
x
→∞时，函数
f
（
x
）的变化趋势。从
f
（
x
）＝
的图形可以观察到，当
x
→∞时，函数
f
（
x
）＝
无限接近于常数 0.这时我们称
x
→∞时，函数
f
（
x
）的极限为 0.
定义 3 设函数 f （ x ）当 x 大于某一正数时有定义，如果在 x 无限增大（记为 x →∞）时，对应的函数值 f （ x ）无限趋近于一个确定的常数 A ，则称常数 A 为函数 f （ x ）当 x →∞时的极限，记作
由定义 2 知，对于例 1，
f
（
x
）＝
（
x
≠0），有
＝ 0.
当自变量无限增大（或无限减小）时，记作 x →＋∞（或 x →－∞），如果对应的函数 f （ x ）无限接近于某一个确定的常数 A ，则称常数 A 为函数 f （ x ）当 x →＋∞（或 x →－∞）时的极限，记作
极限
f
（
x
）＝
A
与
f
（
x
）＝
A
称为
单侧极限.
图 2.2
图 2.3
由定义 1 可得如下定理：
定理 1
f
（
x
）＝
A
（
A
为常数）的充分必要条件是
f
（
x
）＝
f
（
x
）＝
A
.
例 2 考察下列极限是否存在：
解
（1）由图 2.3观察可得，
arctan
x
＝
，
arctan
x
＝ －
，所以由定理 1 知，
arctan
x
不存在.
（2）由图 2.4 观察可得，
＝0，
＝ 0，所以
＝ 0.
（3）由图 2.5 观察可得，
当
a
＞1 时，
＝ 0，
＝ ＋∞，故
不存在；
当 0＜
a
＜1 时，
＝ ＋∞，
＝ 0，故
不存在.
图 2.4
图 2.5
对于一般函数而言，除了考察函数自变量x的绝对值无限增大时，函数的变化趋势问题，还可研究 x 无限接近某一有限值 x 0 时，函数 f （ x ）的变化趋势.
例 3
考察当
x
→1 时，函数
f
（
x
）＝
的变化趋势。我们注意到，当
x
≠1 时，函数
f
（
x
）＝
＝ 2（
x
＋1），所以当
x
→1时，
f
（
x
）的值无限接近于常数 4（图 2.6）.称常数 4 为函数
f
（
x
）＝
当
x
→1 时的极限.
由此可见， x 无限接近 x 0 时，函数值 f （ x ）无限接近 A 的情形，它与 x →∞时函数的极限类似，只是 x 的趋向不同，因此只需对 x 无限接近 x 0 作出确切的描述即可.
定义 4 设函数 f （ x ）在点 x 0 的某一去心邻域内有定义。当 x → x 0 时，如果函数 f （ x ）无限地接近于某一确定的常数 A ，则称常数 A 为函数 f （ x ）当 x → x 0 时的极限。记为
图 2.6
注： 在点 x 0 的某一去心邻域内， x → x 0 表示x无限接近 x 0 永远不等于 x 0 ，所以函数 f （ x ）的极限是否存在与函数在点 x 0 是否有定义无关，只与函数的变化趋势有关.
在定义 4 中， x → x 0 是指 x 从 x 0 的两侧趋向于 x 0 .有些实际问题只需要考虑 x 从 x 0 的一侧趋向 x 0 时，函数 f （ x ）的变化趋势，因此引入下面的函数左右极限的概念.
定义 5
如果当
x
从
x
0
的左侧趋于
x
0
（记作
x
→
）时，对应的函数值
f
（
x
）无限接近于某一个常数
A
，则称
A
为函数
f
（
x
）当
x
→
x
0
时的
左极限
，记为
如果当
x
从
x
0
的右侧趋于
x
0
（记作
x
→
）时，对应的函数值
f
（
x
）无限接近于某一个常数
A
，则称
A
为函数
f
（
x
）当
x
→
x
0
时的
右极限
，记为
定理 2
＝
A
的充分必要条件是：
＝
＝ A.
例 4
设
f
（
x）
＝
讨论当
x
→0 时，
f
（
x
）的极限是否存在？
图 2.7
解 x ＝ 0 是函数定义域中两个区间的分界点，该函数在点 x ＝ 0 处的左右两侧的表达式不同，如图 2.7所示.
因为
≠
，
所以
不存在.
例 5
设
f
（
x
）＝
xx＞≤00，.问当
b
取何值时，
存在.
解 由于
由定理 2 可知，要使
存在，必须满足
＝
，因此
b
＝ 2.
为了叙述方便，今后使用的极限符号“lim”未标明自变量变化过程，它表示对任何一种极限过程.
性质 1（唯一性） 若lim f （ x ）存在，则该极限唯一.
性质 2（局部有界性） 若lim f （ x ）存在，则lim f （ x ）是该极限过程中的有界变量.
注：性质 2 的逆命题不成立。如sin x是有界变量，但
sin x不存在.
性质 3（局部保号性）
若
x
l
→
im
x
0f（x）＝
A
，且
A
＞0（或
A
＜0），则当
x
∈
（
x
0
）时，有
f
（
x）
＞0（或
f
（
x
）＜0）.
推论 在某极限过程中，若 f （ x ）≥0（或 f （ x ）≤0），且lim f （ x）＝ A ，则 A ≥0（或 A ≤0）.
1.观察下列数列的变化趋势，写出其极限.
2.利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限.
3.设
f
（
x
）＝
，xx＜≥00；.求
与
，判断
是否存在？
4.设
f
（
x
）＝
，
g
（
x
）＝
，当
x
→0 时，分别求
f
（
x
）与
g
（
x
）的左、右极限，判断
与
是否存在？