下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
在经济分析中，经常需要用数学方法解决实际问题，其做法是先建立变量之间的函数关系，即构建该问题的数学模型，然后分析模型（函数）的特性。本节将介绍几种常用的经济函数及其应用.
需求函数 是指在某一特定时期内，市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的数量关系.
假定其他因素（如消费者的货币收入、偏好和相关商品的价格等）不变，则决定某种商品需求量的因素就是这种商品的 价格 .此时，需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济量之间的数量关系
Q ＝ f d （ P ）.
其中， Q 表示需求量， P 表示价格.
一般来说，当商品提价时，需求量会减少；当商品降价时，需求量就会增加。因此，需求函数为单调减少函数.
在理想情况下，商品的生产应该既满足市场需要又不造成积压，这时需求多少就销售多少，销售多少就生产多少，即产量等于销售量，也等于需求量，它们有时用记号x表示，有时也用记号 Q 表示.
需求函数的反函数
P
＝
（
Q
）称为
价格函数
，习惯上将价格函数也统称为需求函数.
供给函数 是指在某一特定时期内，市场上某种商品的各种可能的供给量和决定这些供给量的诸因素之间的数量关系。若 Q 表示供给量， P 表示价格，则供给函数为
Q ＝ f s （ P ）.
一般来说，当商品价格提高时，商品的供给量将会相应增加。因此，供给函数是关于价格的单调增加函数.
对于一种商品而言，如果需求量等于供给量，则这种商品就达到了 市场均衡 .以线性需求函数和线性供给函数为例，令
有
这个价格 P 0 称为该商品的 市场均衡价格 ，如图 1.25所示.
市场均衡价格就是需求函数和供给函数两条直线的交点的横坐标。当市场价格高于均衡价格时，将出现 供过 于求 的现象；当市场价格低于均衡价格时，将出现 供不应求 的现象。当市场均衡时有
图 1.25
Q d ＝ Q s ＝ Q 0 ，
称 Q 0 为 市场均衡数量 .
根据市场的不同情况，需求函数与供给函数还有二次函数、多项式函数与指数函数等。但其基本规律是相同的，都可找到相应的 市场均衡点 （ P 0 ， Q 0 ）.
例 1 设某商品的需求函数和供给函数分别为
Q d ＝ 170 －4 P ， Q s ＝ 16 P －10，
求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.
解 由均衡条件 Q d ＝ Q s 得
即 20 P ＝ 180.因此，市场均衡价格为 P 0 ＝ 9.
市场均衡数量为
Q 0 ＝ 16 P 0 －10 ＝ 134.
例 2 某批发商每次以 150 元／件的价格将 500 件衣服批发给零售商，在这个基础上零售商每次多进 100 件衣服，则批发价相应降低 2 元，批发商最大批发量为每次 1 000 件，试将衣服批发价格表示为批发量的函数，并求零售商每次进 900 件衣服时的批发价格.
解
由题意可以看出所求函数的定义域为[500，1 000].已知每次多进 100 件，价格减少2 元，设每次进衣服
x
件，则每次批发价减少
（
x
－500）元／件，于是所求函数为
当
x
＝ 900 时，
P
＝
元／件＝ 142 元／件。即零售商每次进 900 件衣服时的批发价格为142 元／件.
产品成本是以货币形式表现的企业生产和销售产品的全部费用支出， 成本函数 表示费用总额与产量（或销售量）之间的依赖关系，产品成本可分为 固定成本 和 变动成本 两个部分。所谓固定成本，是指在一定时期内不随产量变化的那部分成本，如厂房及设备折旧费、保险费等。所谓变动成本，是指随产量变化而变化的那部分成本，如材料费、燃料费、提成费等。一般地，以货币计值的（总）成本C是产量x的函数，即
C ＝ C （ x ）（ x ≥ 0）
称其为 成本函数 .当产量 x ＝ 0 时，对应的成本函数值 C （0）就是产品的固定成本值.
成本函数是单调增加函数，其图像称为 成本曲线 .
在讨论总成本的基础上，还要进一步讨论均摊在单位产量上的成本，均摊在单位产量上的成本称为 平均单位成本 ，设 C （ x ）为成本函数，称
为 平均单位成本函数或平均成本函数 .
销售某种产品的收入 R 等于产品的单位价格 P 乘以销售量 x ，即 R ＝ P · x ，称其为 收入 函数 .
而销售利润 L 等于收入 R 减去成本 C ，即 L ＝ R － C ，称其为 利润函数.
当 L ＝ R － C ＞0 时，生产者盈利；
当 L ＝ R － C ＜0 时，生产者亏损；
当 L ＝ R － C ＝ 0 时，生产者盈亏平衡，使 L （ x ）＝ 0 的点 x 0 称为 盈亏平衡点 （又称为 保本点 ）.
例 3 某产品总成本 C 万元为年产量 x t的函数
C ＝ C （ x ）＝ a ＋ bx 2 ，
其中
a
，
b
为待定常数。已知固定成本为 400 万元，且当年产量
x
＝ 100 t时，总成本
C
＝ 500 万元，试将平均单位成本
表示为年产量
x
的函数.
解 由于总成本 C ＝ C （ x ）＝ a ＋ bx 2 ，从而当产量 x ＝ 0 时的总成本 C （0）＝ a ，说明常数项 a 为固定成本，因此确定常数
a ＝ 400.
再将已知条件： x ＝ 100 时， C ＝ 500 代入总成本 C 的表达式中，得
500 ＝ 400 ＋ b ·100 2 .
从而确定常数
于是得到总成本函数表达式
所以平均单位成本
例 4 某厂每年生产 Q 台某商品的平均单位成本为
商品销售价格 P ＝ 30 万元／台，试将每年商品全部销售后获得总利润 L 表示为年产量 Q 的函数.
解 每年生产 Q 台产品，以价格 P ＝ 30 万元／台销售，获得总收入为
R ＝ R （ Q ）＝ PQ ＝ 30 Q ，
又生产 Q 台商品的总成本为
所以总利润为
例 5 某产品总成本 C 元为日产量 x （单位：kg）的函数
产品销售价格为 P 元／ kg，它与产量 x （单位：kg）的关系为
（1）试将平均单位成本表示为日产量 x 的函数；
（2）试将每日产品全部销售后获得的总利润 L 表示为日产量 x 的函数.
解 （1）平均单位成本
（2）生产 x kg产品，以价格 P 元／ kg销售，获得的总收入为
又已知生产 x kg产品的总成本为
所以总利润
由于产量
x
＞0，又由于销售价格
P
＞0，即 46－
x
＞0，得到
x
＜ 138，因而函数的定义域为 0 ＜
x
＜138.
例 6 已知某商品的成本函数与收入函数分别为
C ＝ 12 ＋ 3 x ＋ x 2 ， R ＝ 11 x ，
其中 x 表示产量销量，试求该商品的盈亏平衡点，并说明盈亏情况.
解 由 L ＝ 0 和已知条件得
11 x ＝ 12 ＋ 3 x ＋ x 2 ， x 2 －8 x ＋ 12 ＝ 0.
从而得到两个盈亏平衡点分别为 x 1 ＝ 2， x 2 ＝ 6.由利润函数
L （ x ）＝ R （ x ）－ C （ x ）＝ 11 x －（12 ＋ 3 x ＋ x 2 ）＝ 8 x －12 － x 2 ＝（ x －2）（6 － x ）易知，当 x ＜2 时亏损，当 2＜ x ＜6 时盈利，而当 x ＞6 时又转为亏损.
1.某种商品的供给函数和需求函数分别为
Q d ＝ 25 P －10， Q s ＝ 200 －5 P ，
求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.
2.某批发商每次以 160 元／台的价格将 500 台电扇批发给零售商，在这个基础上零售商每次多进 100 台电扇，则批发价相应降低 2 元，批发商最大批发量为每次 1 000 台，试将电扇批发价格表示为批发量的函数，并求零售商每次进 800 台电扇时的批发价格.
3.某工厂生产某产品，每日最多生产 200 单位。它的日固定成本为 150 元，生产一个单位产品的可变成本为 16 元。求该厂日总成本函数及平均成本函数.
4.已知某厂生产一个单位产品时，可变成本为 15 元，每天的固定成本为 2 000 元，如这种产品出厂价为 20 元，求
（1）利润函数；
（2）若要不亏本，该厂每天至少生产多少单位这种产品.
5.某企业生产一种新产品，在定价时不单是根据生产成本而定，还要请各销售单位来出价，即他们愿意以什么价格来购买。根据调查得出需求函数为 x ＝ －900P＋45 000.该企业生产该产品的固定成本是 270 000 元，而单位产品的变动成本为 10 元.
（1）求利润函数；
（2）为获得最大利润，出厂价格应为多少？
6.已知某产品的成本函数与收入函数分别为
C ＝ 5 －4 x ＋ x 2 ， R ＝ 2 x ，
其中 x 表示产量，试求该商品的盈亏平衡点，并说明盈亏情况.