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幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为 基本初等函数 ，它们是研究各种函数的基础。为了读者学习的方便，下面再对这几类函数作简单介绍.
我们已经知道的一些函数
y
＝
x
，
y
＝
x
2
，
y
＝
，
y
＝
x
－1
的共同特点是：指数是一个常量，底数1是自变量.
定义 1 函数
y ＝ x α （ α 是常数）
称为 幂函数.
幂函数 y ＝ x α 的定义域随 α 的不同而异，但无论 α 为何值，函数在（0，＋∞）内总是有定义的.
当
α
＞0 时，
y
＝
x
α
在[0，＋∞）上是单调增加的，其图像过点（0，0）及点（1，1），图 1.13 列出了
α
＝
，
α
＝ 1，
α
＝ 2 时幂函数在第一象限的图像.
当
α
＜0 时，
y
＝ x
α
在（0，＋∞）上是单调减少的，其图像通过点（1，1），图 1.14 列出了
α
＝－
，
α
＝ －1，
α
＝ －2 时幂函数在第一象限的图像.
图 1.13
图 1.14
定义 2 函数 y ＝ a x （ a 是常数且 a ＞0， a ≠1）称为 指数函数.
指数函数 y ＝ a x 的定义域是（－∞，＋∞），图像通过点（0，1），因为 a ＞0，所以无论 x 取什么值，都有 a x ＞0，于是指数函数 y ＝ a x 的图像总在 x 轴的上方.
当 a ＞1 时， y ＝ a x 是单调增加的；当 0＜ a ＜1 时， y ＝ a x 是单调减少的，如图 1.15 所示.
以常数e ＝ 2.718 281 82…为底的指数函数
x y ＝ e
是科技和经济中常用的指数函数.
定义 3 指数函数 y ＝ a x 的反函数，记作
y ＝ log a x （ a 是常数且 a ＞ 0， a ≠ 1），
称为对 数函数.
图 1.15
图 1.16
对数函数 y ＝ log a x 的定义域为（0，＋∞），图像过点（1，0）.当 a ＞1 时， y ＝ log a x 单调增加；当0＜ a ＜1 时， y ＝ log a x 单调减少，如图 1.16 所示.
中学学过的常用对数函数 y ＝ lg x 是以 10 为底的对数函数。在科技和经济中，常用以e为底的对数函数
称为 自然对数函数 ，简记作
y ＝ log e x ，
y ＝ ln x .
常用的三角函数有：
正弦函数 y ＝ sin x ， D （ f ）＝（－∞，＋∞）， R （ f ）＝ [－1，1]，有界函数，奇函数， T ＝ 2π，函数图像如图 1.17 所示，称其图像为正弦曲线.
图 1.17
余弦函数 y ＝ cos x ， D （ f ）＝（－∞，＋∞）， R （ f ）＝ [－1，1]，有界函数，偶函数， T ＝ 2π，函数图像如图 1.18 所示，称其图像为余弦曲线.
图 1.18
正切函数
y
＝ tan
x
，
D
（
f
）＝ ｛
x
x
∈
R
且
x
≠
k
π＋
，
k
为整数｝，无界函数，奇函数，
T
＝π，函数图像如图 1.19 所示，称其图像为正切曲线.
余切函数 y ＝ cot x ， D （ f ）＝ ｛ x x ∈ R 且 x ≠ k π， k 为整数｝，无界函数，奇函数， T ＝π，函数图像如图 1.20 所示，称其图像为余切曲线.
其中自变量以弧度作单位来表示.
图 1.19
图 1.20
另外，常用的三角函数还有 正割函数 y ＝ sec x ； 余割函数 y ＝ csc x .
它们都是以 2π为周期的周期函数，且
常用的反三角函数有：
反正弦函数
y
＝ arcsin
x
，
D
（
f
）＝ [－1，1]，
R
（
f
）＝
，函数图像如图 1.21 中的实线部分所示.
反余弦函数 y ＝ arccos x ， D （ f ）＝ [－1，1]， R （ f ）＝ [0，π]，函数图像如图 1.22 中的实线部分所示.
图 1.21
图 1.22
反正切函数
y
＝ arctan
x
，
D
（
f
）＝（－∞，＋∞），
R
（
f
）＝
，函数图像如图 1.23 中的实线部分所示.
反余切函数 y ＝ arccot x ， D （ f ）＝（－∞，＋∞）， R （ f ）＝（0，π），函数图像如图 1.24 中的实线部分所示.
图 1.23
图 1.24
它们分别称为三角函数 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝ tan x 和 y ＝ cot x 的反函数.
例 1 求下列函数的定义域.
解 （1）由－1≤2 x －3≤1 解得 1≤ x ≤2，所以 y ＝ arcsin（2 x －3）的定义域为[1，2].
（2）要使 f （ x ）有意义，显然 x 要满足：
所以 f （ x ）的定义域为 D （ f ）＝ [－2，－1）∪（1，4].
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合而构成，并能用一个式子表示的函数，称为 初等函数.
例如，
y
＝
x
2
＋
，
y
＝ 3
x
e
＋2 等都是初等函数。而分段函数
不是初等函数，因为它在定义域内不能用一个式子表示。但分段函数
是初等函数，因为它是绝对值函数，可以看成由
y
＝
u
＝
x
2
复合而成.
注： 一般由常数和基本初等函数经过四则运算后所成的函数称为 简单函数 ，而一个复合函数可以分解成若干个简单函数，由此也可找到中间变量.
例 2 指出下列函数是由哪些简单函数复合而成的.
（1）
y
＝（sin 5
x
）
3
；（2）
y
＝ ln（1＋
）；
（3） y ＝ arctan（sin e 4 x ）；（4） y ＝ e arctan x 2 .
解
（1）
y
＝（sin 5
x
）
3
是由
y
＝
u
3
，
u
＝ sin
，
＝ 5
x
复合而成的；
（2）
y
＝ ln（1＋
）是由
y
＝ ln
u
，
u
＝ 1＋
，
＝ 1＋
x
2
复合而成的；
（3）
y
＝ arctan（sin e
4
x
）是由
y
＝ arctan
u
，
u
＝ sin
，
＝ e
w
，
w
＝ 4
x
复合而成的；
（4）
是由
y
＝ e
u
，
u
＝ arctan
，
＝
x
2
复合而成的.
1.求下列函数的定义域.
2.将下列函数分解成简单函数的复合.
