1.4 基本初等函数、初等函数

1.4.1 基本初等函数

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为 基本初等函数 ，它们是研究各种函数的基础。为了读者学习的方便，下面再对这几类函数作简单介绍.

1）幂函数

我们已经知道的一些函数 y ＝ x ， y ＝ x ² ， y ＝ ， y ＝ x ^－1 的共同特点是：指数是一个常量，底数1是自变量.

定义 1 函数

y ＝ x ^α （ α 是常数）

称为 幂函数.

幂函数 y ＝ x ^α 的定义域随 α 的不同而异，但无论 α 为何值，函数在（0，＋∞）内总是有定义的.

当 α ＞0 时， y ＝ x ^α 在[0，＋∞）上是单调增加的，其图像过点（0，0）及点（1，1），图 1.13 列出了 α ＝ ， α ＝ 1， α ＝ 2 时幂函数在第一象限的图像.

当 α ＜0 时， y ＝ x ^α 在（0，＋∞）上是单调减少的，其图像通过点（1，1），图 1.14 列出了 α ＝－ ， α ＝ －1， α ＝ －2 时幂函数在第一象限的图像.

2）指数函数

定义 2 函数 y ＝ a ^x （ a 是常数且 a ＞0， a ≠1）称为 指数函数.

指数函数 y ＝ a ^x 的定义域是（－∞，＋∞），图像通过点（0，1），因为 a ＞0，所以无论 x 取什么值，都有 a ^x ＞0，于是指数函数 y ＝ a ^x 的图像总在 x 轴的上方.

当 a ＞1 时， y ＝ a ^x 是单调增加的；当 0＜ a ＜1 时， y ＝ a ^x 是单调减少的，如图 1.15 所示.

以常数e ＝ 2.718 281 82…为底的指数函数

x y ＝ e

是科技和经济中常用的指数函数.

3）对数函数

定义 3 指数函数 y ＝ a ^x 的反函数，记作

y ＝ log _a x （ a 是常数且 a ＞ 0， a ≠ 1），

称为对 数函数.

对数函数 y ＝ log _a x 的定义域为（0，＋∞），图像过点（1，0）.当 a ＞1 时， y ＝ log _a x 单调增加；当0＜ a ＜1 时， y ＝ log _a x 单调减少，如图 1.16 所示.

中学学过的常用对数函数 y ＝ lg x 是以 10 为底的对数函数。在科技和经济中，常用以e为底的对数函数

称为 自然对数函数 ，简记作

y ＝ log _e x ，

y ＝ ln x .

4）三角函数

常用的三角函数有：

正弦函数 y ＝ sin x ， D （ f ）＝（－∞，＋∞）， R （ f ）＝ [－1，1]，有界函数，奇函数， T ＝ 2π，函数图像如图 1.17 所示，称其图像为正弦曲线.

余弦函数 y ＝ cos x ， D （ f ）＝（－∞，＋∞）， R （ f ）＝ [－1，1]，有界函数，偶函数， T ＝ 2π，函数图像如图 1.18 所示，称其图像为余弦曲线.

正切函数 y ＝ tan x ， D （ f ）＝ ｛ x x ∈ R 且 x ≠ k π＋ ， k 为整数｝，无界函数，奇函数， T ＝π，函数图像如图 1.19 所示，称其图像为正切曲线.

余切函数 y ＝ cot x ， D （ f ）＝ ｛ x x ∈ R 且 x ≠ k π， k 为整数｝，无界函数，奇函数， T ＝π，函数图像如图 1.20 所示，称其图像为余切曲线.

其中自变量以弧度作单位来表示.

另外，常用的三角函数还有 正割函数 y ＝ sec x ； 余割函数 y ＝ csc x .

它们都是以 2π为周期的周期函数，且

5）反三角函数

常用的反三角函数有：

反正弦函数 y ＝ arcsin x ， D （ f ）＝ [－1，1]， R （ f ）＝ ，函数图像如图 1.21 中的实线部分所示.

反余弦函数 y ＝ arccos x ， D （ f ）＝ [－1，1]， R （ f ）＝ [0，π]，函数图像如图 1.22 中的实线部分所示.

反正切函数 y ＝ arctan x ， D （ f ）＝（－∞，＋∞）， R （ f ）＝ ，函数图像如图 1.23 中的实线部分所示.

反余切函数 y ＝ arccot x ， D （ f ）＝（－∞，＋∞）， R （ f ）＝（0，π），函数图像如图 1.24 中的实线部分所示.

它们分别称为三角函数 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝ tan x 和 y ＝ cot x 的反函数.

例 1 求下列函数的定义域.

解 （1）由－1≤2 x －3≤1 解得 1≤ x ≤2，所以 y ＝ arcsin（2 x －3）的定义域为[1，2].

（2）要使 f （ x ）有意义，显然 x 要满足：

所以 f （ x ）的定义域为 D （ f ）＝ [－2，－1）∪（1，4].

1.4.2 初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合而构成，并能用一个式子表示的函数，称为 初等函数.

例如， y ＝ x ² ＋ ， y ＝ 3 x e ＋2 等都是初等函数。而分段函数

不是初等函数，因为它在定义域内不能用一个式子表示。但分段函数

是初等函数，因为它是绝对值函数，可以看成由 y ＝ u ＝ x ² 复合而成.

注： 一般由常数和基本初等函数经过四则运算后所成的函数称为 简单函数 ，而一个复合函数可以分解成若干个简单函数，由此也可找到中间变量.

例 2 指出下列函数是由哪些简单函数复合而成的.

（1） y ＝（sin 5 x ） ³ ；（2） y ＝ ln（1＋ ）；

（3） y ＝ arctan（sin e ^{4 x} ）；（4） y ＝ e ^{arctan x 2} .

解 （1） y ＝（sin 5 x ） ³ 是由 y ＝ u ³ ， u ＝ sin ， ＝ 5 x 复合而成的；

（2） y ＝ ln（1＋ ）是由 y ＝ ln u ， u ＝ 1＋ ， ＝ 1＋ x ² 复合而成的；

（3） y ＝ arctan（sin e ^{4 x} ）是由 y ＝ arctan u ， u ＝ sin ， ＝ e ^w ， w ＝ 4 x 复合而成的；

（4） 是由 y ＝ e ^u ， u ＝ arctan ， ＝ x ² 复合而成的.

习题 1.4

1.求下列函数的定义域.

2.将下列函数分解成简单函数的复合. 2xc3W5TXTApBIlW7tDi9D7OxpCkh6lWZZmp+PwzffydMfagtJFffYOxv73F1MifE