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函数关系的实质就是从定量分析的角度来描述变量之间的相互依赖关系。但在研究过程中，哪个量作为自变量，哪个量作为因变量（函数）是由具体问题来决定的.
例如，在商品销售时，已知某种商品的价格 P 和销量 x ，销售收入为 y ，当销量已知要求销售收入时，可根据关系式
y ＝ xP
得到。这时，函数关系中， y 是 x 的函数；反过来，如果已知销售收入，要求相应的销售量，则可从 y ＝ xP 得到关系式
这时，
x
是
y
的函数，称函数
x
＝
是函数
y
＝
xP
的反函数.
定义 1 设函数 y ＝ f （ x ）的定义域为 D （ f ），值域为 R （ f ）.如果对于每一个 y ∈ R （ f ），都有唯一的 x ∈ D （ f ）满足 f （ x ）＝ y ，将 y 与 x 对应，则所确定的以 y 为自变量的函数 x ＝ φ （ y ）叫作函数 y ＝ f （ x ）的 反函数 .记作 x ＝ f －1 （ y ）， y ∈ R （ f ）.相对反函数而言，原来的函数称为 直接函数 .
显然，反函数 x ＝ f －1 （ y ）的定义域正好是直接函数 y ＝ f （ x ）的值域，反函数 x ＝ f －1 （ y ）的值域正好是直接函数 y ＝ f （ x ）的定义域.
由于函数只与定义域和对应法则有关，而与自变量和因变量用什么字母表示无关，且习惯上常用字母 x 表示自变量，用字母 y 表示因变量，这样 y ＝ f （ x ）的反函数通常写为 y ＝ f －1 （ x ）.
在平面坐标系中，函数 y ＝ f （ x ）的图形与其反函数 y ＝ f －1 （ x ）的图形关于直线 y ＝ x 对称（图 1.11）.这是因为互为反函数的两个函数的因变量与自变量互换的缘故，若（ a ， b ）是 y ＝ f （ x ）的图形上的一点，则（ b ， a ）就是 y ＝ f －1 （ x ）的图形上的点，而 xOy 平面上点（ a ， b ）与点（ b ， a ）关于直线 y ＝ x 对称.
图 1.11
图 1.12
利用这一特性，由函数 y ＝ f （ x ）的图形就很容易作出它的反函数 y ＝ f －1 （ x ）的图形。例如， y ＝ 2 x 与 y ＝ log 2 x 互为反函数，它们的图形如图 1.12 所示.
值得注意的是，并不是所有函数都存在反函数，例如，函数
y
＝
x
2
的定义域为（－∞，＋∞），值域为（－∞，＋∞），但对于每一个
y
∈（0，＋∞），有两个
x
值即
x
1
＝
和
x
2
＝ －
与之对应，因此
x
不是
y
的函数，从而
y
＝
x
2
不存在反函数。下面直接给出反函数存在定理.
定理（反函数存在定理） 单调函数 y ＝ f （ x ）必存在单调的反函数 y ＝ f －1 （ x ），且具有相同的单调性.
例如，函数
y
＝
x
2
在（－∞，0]单调递减，其反函数
y
＝ －
在（－∞，0]也单调递减；
y
＝
x
2
在[0，＋∞）单调递增，其反函数
y
＝
在[0，＋∞）也单调递增.
求反函数的一般步骤为：由方程 y ＝ f （ x ）解出 x ＝ f －1 （ y ），再将 x 与 y 对换，即得所求的反函数为 y ＝ f － 1 （ x ）.
例 1 求函数 y ＝ 2 x －3 的反函数.
解
由
y
＝ 2
x
－3 得
x
＝
，故所求反函数为
y
＝
例 2
求函数
y
＝
的反函数.
解
由
y
＝
得 2
x
＝
，故
x
＝ log
2
，即得所求的反函数为
定义 2 设函数 y ＝ f （ u ）的定义域为 D （ f ），值域为 R （ f ）；而函数 u ＝ g （ x ）的定义域为 D （ g ），值域为 R （ g ），如果 D （ f ）∩ R （ g ）≠⌀，则称函数 y ＝ f （ g （ x ））， x ∈ D （ g ）为由函数 y ＝ f （ u ）和 u ＝ g （ x ）复合而成的 复合函数 ，其中 u 称为 中间变量 ， y ＝ f （ u ）称为 外层函数 ， u ＝ g （ x ）称为 内层函数 .
例如，由
y
＝
，
u
＝
x
＋1 可以构成复合函数
y
＝
，为了使
u
的值域包含在
y
＝
的定义域[0，＋∞）内，必须有
x
∈[－1，＋∞），所以复合函数
y
＝
的定义域应为[－1，＋∞）.又如复合函数
y
＝ cos（1＋
x
2
）是由函数
y
＝ cos
u
，
u
＝ 1＋
x
2
复合而成的.
注： 构成复合函数必须满足外层函数的定义域和内层函数的值域的交集非空.
复合函数也可以由两个以上的函数复合而成。例如，函数
y
＝（ln 5
x
）
2
是由
y
＝
u
2
，
u
＝ ln
，
＝ 5
x
复合而成的，其中
u
和
都是中间变量.
例 3 写出下列函数的复合函数.
（1） y ＝ u 2 ， u ＝ cos x ；
（2） y ＝ cos u ， u ＝ x 2 .
解 （1）将 u ＝ cos x 代入 y ＝ u 2 得所求复合函数为 y ＝ cos 2 x ，其定义域为（－∞，＋∞）；
（2）将 u ＝ x 2 代入 y ＝ cos u 得所求复合函数为 y ＝ cos x 2 ，其定义域为（－∞，＋∞）.
注：
并非任意两个函数都能复合。例如，
y
＝
，
u
＝sin
x
就不能复合，请您想想原因何在？
例 4 指出下列复合函数的复合过程.
解
（1）
y
＝
由
y
＝
，
u
＝ 1＋
x
2
复合而成；
（2）
y
＝
由
y
＝
，
u
＝ sin
，
＝
x
2
复合而成；
（3）
y
＝ 2
tan 2
x
由
y
＝ 2
u
，
u
＝ tan
，
＝ 2
x
复合而成.
1.求下列函数的反函数.
2.指出下列复合函数的复合过程.
4.设函数
f
（
x
）＝
，求
f
（2
x
＋1）.