1.2 函数的几种特性

1.2.1 函数的奇偶性

定义 1 设函数 y ＝ f （ x ）的定义域 D 关于原点对称，如果对于任一 x ∈ D ，恒有

f （－ x ）＝ － f （ x ），

则称 f （ x ）为 奇函数； 如果对于任意 x ∈ D ，恒有

f （－ x ）＝ f （ x ），

则称 f （ x ）为 偶函数.

例如， y ＝ x ³ 在（－∞，＋∞）上是奇函数， y ＝ cos x 在（－∞，＋∞）上是偶函数；而 y ＝ x ³ ＋ x 在（－∞，＋∞）上既不是奇函数也不是偶函数，这样的函数称为 非奇非偶函数.

注： 在平面直角坐标系中，奇函数的图形关于原点中心对称（图 1.7）；偶函数的图形关于 y 轴对称（图 1.8）.

例 1 判断函数 f （ x ）＝ x sin 的奇偶性.

解 因为 f （ x ）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），它关于原点对称，又因为

所以 f （ x ）＝ x sin 是偶函数.

例 2 讨论函数 f （ x ）＝ log（ x ＋ ）的奇偶性.

解 函数 f （ x ）＝ log（ x ＋ ）的定义域是（－∞，＋∞）关于原点对称，又因为

所以 f （ x ）是（－∞，＋∞）上的奇函数.

1.2.2 函数的单调性

定义 2 设函数 f （ x ）的定义域为 D ，区间 I ⊆ D ，如果对于区间I内的任意两点 x ₁ ， x ₂ ，当 x ₁ ＜ x ₂ 时，有

f （ x ₁ ）＜ f （ x ₂ ），

则称函数 f （ x ）在 I 上 单调增加 （图 1.9），此时，区间 I 称为 单调增加区间 ；如果对于区间 I 内的任意两点 x ₁ ， x ₂ ，当 x ₁ ＜ x ₂ 时，有

f （ x ₁ ）＞ f （ x ₂ ），

则称函数 f （ x ）在 I 上 单调减少 （图 1.10），此时，区间 I 称为 单调减少区间. 单调增加和单调减少的函数统称为 单调函数 .单调增加区间和单调减少区间统称为 单调区间 .

例如， y ＝ 是（－∞，0）上的单调减少函数，也是（0，＋∞）上的单调减少函数，但不能说 y ＝ 是（－∞，＋∞）上的单调减少函数； y ＝ x ² 在（－∞，＋∞）不是单调函数，但 y ＝ x ² 在（－∞，0]上是单调减少函数，在[0，＋∞）上是单调增加函数.

例 3 证明函数 y ＝ 在（－1，＋∞）内是单调增加的函数.

证 在（－1，＋∞）内任取两点 x ₁ ， x ₂ ，且 x ₁ ＜ x ₂ ，则

因为 x ₁ ， x ₂ 是（－1，＋∞）内任意两点，所以 1＋ x ₁ ＞0，1＋ x ₂ ＞0；又因为 x ₁ － x ₂ ＜0，所以 f （ x ₁ ）－ f （ x ₂ ）＜0，即 f （ x ₁ ）＜ f （ x ₂ ）.因此 f （ x ）＝ 在（－1，＋∞）内是单调增加的.

1.2.3 函数的周期性

定义 3 设函数 f （ x ）的定义域为 D ，若存在一个非负常数 T ，使得对于任意 x ∈ D ，必有 x ± T ∈ D ，并且使

f （ x ± T ）＝ f （ x ），

则称 f （ x ）为 周期函数 ，其中 T 称为函数 f （ x ）的 周期 .

显然，若 T 是周期函数 f （ x ）的周期，则 kT （ k ＝ 1，2，…）也是函数 f （ x ）的周期，通常所说的周期函数的周期是指它的 最小正周期 .

例如， y ＝ sin x ， y ＝ cos x 都是以 2π为周期的周期函数，函数 y ＝ tan x 是以π为周期的周期函数.

1.2.4 函数的有界性

定义 4 设函数 y ＝ f （ x ）的定义域为 D ，区间 I ⊆ D ，如果存在一个正数 M ，使得对于任一 x ∈ I ，都有

f （ x ）≤ M ，

则称函数 f （ x ）在 I 上 有界 ，也称 f （ x ）是区间 I 上的 有界函数 .否则，称 f （ x ）在区间 I 上 无界 ，也称 f （ x ）为区间 I 上的 无界函数 .

例如，函数 y ＝ sin x ，对任意 x ∈（－∞，＋∞）时，都有不等式sin x ≤1 成立，所以 y ＝ sin x 是（－∞，＋∞）上的有界函数.

注 ：函数的有界性与 x 取值的区间 I 有关。例如，函数 y ＝ 在区间（0，1）上是无界的，但它在区间[1，＋∞）上有界.

例 4 证明函数 y ＝ 在（－∞，＋∞）上是有界的.

证 因为（1－ ） ² ≥0，所以 ，故

对一切 x ∈（－∞，＋∞）都成立。因此函数 y ＝ ^x 在（－∞，＋∞）上是有界的.

习题 1.2

1.指出下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？

2.设下列函数的定义域均为（－ a ， a ）.证明：

（1）两个奇函数的和仍为奇函数，两个偶函数的和仍为偶函数；

（2）两个奇函数的积是偶函数，一奇一偶函数的乘积为奇函数；

（3）任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和.

3.证明函数 y ＝ 在（0，＋∞）内是单调增加的函数. ZDyA5GRrheXVySu4hy+9nvcdB88plNFvsfmp0iDsLTnqWUpB8tCOIcj0SKCP8XQe