3.6　过载情况下的自适应波束形成算法

由于传统的波束形成算法要求信源数小于或等于阵元数，如果信源数大于阵元数（处于过载情况），那么一般算法的性能会下降。本节研究一种适用于过载情况的自适应波束形成算法——近似最小方差波束形成算法 [42] 。

3.6.1　信号模型

当 K 个信源信号入射到 M 元天线阵列上时，阵列信号的输出一般可以表示成矩阵形式，即

式中， ； ； ；为 矩阵，其中 为阵列的导向向量，e j β m ( θ i ) 为第 m 个阵元对 方向的入射信号的响应。波束形成算法的输出为

式中， w =[ w 1 , w 2 ,⋯, w M ] T ，表示阵列信号的加权向量。

3.6.2　近似最小方差波束形成算法

由于 M 元天线阵列的DOF为 M -1，所以在限定主瓣方向的增益为1后，只能形成 M -2个零点。因此，当干扰信源的数目小于或等于 M -2时，上述最小方差波束形成算法能够消除所有的干扰信号，得到可观的载干比。当入射信号数大于 M -2时，上述最小方差波束形成算法只能得到一个最小方差意义下的最优解。为了考察当入射信号无限增多时权系数的最优解，做出如下假设。

（1）入射信号角度相互独立且在[0~2π]范围内均匀分布。

（2）入射信号幅度相互独立且与入射信号角度无关，入射信号功率有限。

定义波束形成算法的输出功率对信号总功率的归一化值为

式中， p i 为第 i 个入射信号功率； 为输入信号功率的平均值； f ( θ )为方向图函数，可表示为

在上述假设条件下，依据Chebyshev大数定律， 收敛于 ，其中 表示干扰信号功率的随机变量， θ 表示干扰信号入射角度的随机变量，它服从 的均匀分布，故有

将式（3.60）代入式（3.61），可得

式（3.63）是由阵列几何结构决定的 矩阵。由于它和阵列响应协方差矩阵 R 有相似的形式，而且与输入阵列信号无关，所以将其命名为阵列固有的协方差矩阵。

近似最小方差波束形成算法的优化准则为

同样地，由Lagrange乘子法可求出 w 的优化解，即

于是，近似最小方差波束形成算法可以表述为，先由阵列的几何结构求得 ，然后依据已知的信号波达方向 θ 和由式（3.64）得到的权值优化解来形成波束。

由上述推导可以看出，当入射干扰信号数无限增多时，近似最小方差波束形成算法就是最小方差意义下的最优解。虽然在实际中不可能存在无穷个干扰信号，但在CDMA体制下，同一小区容纳的用户数较多，且每个用户都可能产生多个多径信号，多址干扰信源数将大于阵元数，这时近似最小波束形成算法近似于LCMV算法。

由于近似最小波束形成算法与数据无关，只要知道信号的波达方向，就能从闭式中求解出阵列权值，不需要估计阵列响应协方差矩阵，因此近似最小波束形成算法比LCMV算法的计算量小。

当在旁瓣方向上有相干信号入射时，LCMV算法以提高相干源入射方向的旁瓣电平来保证阵列的输出功率最小，这时被接收信号的一部分功率被其相干源抵消，因而不能保证载干比最大。由式（3.59）可看出，近似最小波束形成算法在空间频率域上定义阵列输出功率，这和旁瓣入射的相干源一样，被认为是干扰信号，因此近似最小波束形成算法不存在相干源的信号相消问题。

在上述推导过程中，并未指定阵列的几何结构，因此近似最小波束形成算法适用于任意形式阵列的情况。下面以均匀线阵为例，给出阵列固有的协方差矩阵的求解方法。

均匀线阵的导向向量为 ，其中 d 为阵元间距， λ 为信号波长。

根据式（3.63）可得，均匀线阵的阵列协方差矩阵的第 n 行第 m 列元素为

近似最小波束形成算法对SNR具有稳健性，其算法只与阵列天线结构有关，与入射信号数量等无关，这极大地简化了算法的计算过程。 0UtFRr/Gy55SUSQjK+wDsdo1Q4ztGg2egWDCktcZWSZpI6SPboL1w3hGz5YTucae