3.2　常用的波束形成算法

3.2.1　波束形成原理

利用阵元直接相干叠加而获得输出，其缺点在于只有垂直于阵列平面方向的入射波在阵列输出端才能同相叠加，以致形成方向图中主瓣的极大值。反过来说，如果阵列可以围绕它的中心轴旋转，那么当阵列输出最大时，空间波必然由垂直于阵列平面的方向入射而来。但有些天线阵列是很庞大的，是不能转动的。因此，需要设计一种相控阵天线法（或称常规波束形成算法），这是最早出现的阵列信号处理方法。在这种方法中，阵列输出选取一个适当的权向量以补偿各个阵元的传播时延，从而使在某一期望方向上的阵列输出可以同相叠加，进而使阵列在该方向上产生一个主瓣波束，对其他方向产生较小的响应。用这种方法对整个空间进行波束扫描就可确定空中待测信号的方位。

以一维 M 元等距线阵为例，如图3.1所示，设空间信号为窄带信号，每个通道用一个复加权系数来调整该通道的幅度和相位。

这时阵列的输出可表示为

如果采用向量来表示各阵元输出及加权系数，即

那么阵列的输出也可用向量表示为

y ( t )= w H ( θ ) x ( t )

（3.3）

为了在某一方向 θ 上补偿各阵元之间的时延以形成一个主瓣，常规波束形成算法在期望方向上的权向量可以构成

观察此权向量，若空间中只有一个来自方向 θ 的信号，其方向向量 a ( θ )的表示形式跟此权向量一样，则有

y ( t )= w H ( θ ) x ( t )= a H ( θ ) x ( t )

（3.5）

这时常规波束形成算法的输出功率可以表示为

式中，矩阵 R 为阵列输出 x ( t )的协方差矩阵，即 R = E [ x ( t ) x H ( t )]。

下面分析常规波束形成算法的角分辨率问题。一般来说，当空间中有两个同频信号投射到阵列上时，如果它们的空间方位角的间隔小于阵列主瓣波束宽度，那么不仅无法分辨它们，还会严重影响系统的正常工作，即对于阵列远场中的两个点信源，仅当它们之间的角度分离大于阵元间距（或称阵列孔径）的倒数时，它们可被分辨，这就是瑞利准则。瑞利准则说明常规波束形成算法固有的缺点就是角分辨率低，如果要设法提高角分辨率，就要增大阵元间距或增加阵元个数，这在系统施工上是难以实现的。

3.2.2　波束形成的最优权向量

上述“导向”作用是通过调整加权系数完成的，阵列对各阵元的接收信号向量 x ( t )在各阵元上分量进行加权求和，令权向量为 ，则输出可表示为

对于不同的权向量，式（3.7）对来自不同方向的电磁波有不同的响应，从而形成不同方向的空间波束。一般用移相器进行加权处理，即只调整信号相位，不改变信号幅度，因为信号任一瞬间在各阵元上的幅度是相同的。不难看出，若空间中只有一个来自方向 θ k 的电磁波，其方向向量为 ，则当权向量 w 取 时，输出 y ( t )= a ( θ k ) H a ( θ k )= M 最大，实现了导向定位作用。这时，各路的加权信号相干叠加，这一结果被称为空域滤波。

空域滤波效果在白噪声背景下是最佳的，如果存在干扰信号就要另作考虑。下面考虑更复杂情况下的波束形成。假设空间远场中有一个感兴趣的信号 d ( t )（或称期望信号，其波达方向为 ）和 J 个不感兴趣的信号 （或称干扰信号，其波达方向为 θ ij ）。令每个阵元上的加性白噪声为 n k ( t )，它们都具有相同的方差 。在这些假设条件下，第 k 个阵元上的接收信号可以表示为

式（3.8）中等号右边的三项分别表示信号、干扰和噪声。若用矩阵形式表示，则有

或简记为

式中， a ( θ k )=[ a 1 ( θ k ), a 2 ( θ k ),⋯, a M ( θ k )] T ，表示来自方向 θ k （ k = d , i 1 , i 2 ,⋯, i J ）的发射信源的方向向量。 N 次快拍的波束形成算法输出 y ( t )= w H x ( t ) （ t =1,2,⋯, N ） 的平均功率为

这里忽略了不同信号之间的相互作用项，即交叉项 。当 N → ∞ 时，式（3.11）可写为

式中， R = E [ x ( t ) x H ( t )]，为阵列输出的协方差矩阵。

另外，当 时，式（3.11）可表示为

在获得式（3.13）的过程中，使用了各加性噪声具有相同的方差 这一假设。

为了保证来自方向 θ d 的期望信号的正确接收，并且完全抑制其他 J 个干扰，很容易根据式（3.13）得到关于权向量的约束条件，即

w H a ( θ d )=1， w H a ( θ i j )=0

（3.14）

约束条件，即式（3.14）被称为波束置零条件，因为它强迫接收阵列波束方向图的“零点”指向所有 J 个干扰信号。在以上约束条件下，式（3.13）被简化为 。

从增大SINR的角度来看，以上的波束置零条件并不是最佳的。这是因为虽然选定的权值可使干扰输出为零，但可能使噪声输出加大。因此，抑制干扰和噪声应一同考虑。这样一来，波束形成算法最优权向量的确定可以叙述为，在约束条件，即式（3.14）的约束下，求满足式（3.15）的权向量 w ：

这个问题很容易用Lagrange乘子法求解。令目标函数为

根据线性代数的有关知识，函数 f ( w )对复向量 w =[ w 0 , w 1 ,⋯, w M −1] T （ w i = a i +j b i ）的偏导数定义为

利用这一定义，可得

由式（3.16）和式（3.18）易知，∂ L ( w )/∂ w =o的结果为2 R w + λ a ( θ d )=o，得到的接收来自方向 θ d 的期望信号的波束形成的最优权向量为

式中， μ 为比例常数； θ d 表示期望信号的波达方向。这样，就可以确定 J +1个发射信号的波束形成的最优权向量。此时，波束形成算法将只接收来自方向 θ d 的信号，并抑制所有来自其他方向的信号。

注意到约束条件 w H a ( θ d )=1 也可等价写作 a H ( θ d ) w =1，将式（3.19a）等号两边同乘以 a H ( θ d )，并与等价的约束条件进行比较，可得式（3.19a）中的常数 μ 应满足

由上面介绍的阵列信号处理的基本问题可以看出，空域处理和时域处理的任务截然不同，传统的时域处理主要是为了提取信号的包络信息，作为载体的载波在完成传输任务后不再有用；传统的空域处理则是为了区别波达方向，主要利用载波在不同阵元间的相位差，包络信号反而不起作用，并利用窄带信号的复包络在各阵元间的延迟可忽略不计这一特点进行简化计算。

如式（3.19a）所示，波束形成的最优权向量 w 取决于阵列方向向量 ，而在移动通信中用户信号的方向向量一般是未知的，需要估计（称为DOA估计）。因此，在使用式（3.19a）计算波束形成的最优权向量之前，必须先在已知阵列几何结构的前提下估计期望信号的波达方向。该波束形成算法可称为最小方差无畸变响应（MVDR）算法。

3.2.3　波束形成的准则

传统的常规波束形成算法分辨率较低，促使科研人员开始对高分辨波束形成算法进行探索，自适应波束形成算法很快就成了研究热点。自适应波束形成算法在某种最优准则下通过自适应算法来实现权集寻优，它能适应各种环境的变化，实时地将权集调整到最佳位置附近。

波束形成算法是在一定准则下综合各输入信息来计算最优权值的数学方法。这些准则中最重要、最常用的主要有以下几种。

（1）MSNR（最大信噪比）准则：使期望信号分量功率与噪声分量功率之比最大，但是必须知道噪声的统计量和期望信号的波达方向。

（2）MSINR准则：使期望信号分量功率与干扰功率及噪声分量功率之和的比最大。

（3）MMSE准则：在非雷达应用中，阵列协方差矩阵中通常都含有期望信号，MMSE准则是基于此种情况提出的准则，使阵列输出与某期望响应的均方误差（MSE）最小，不需要知道期望信号的波达方向。

（4）MLH准则：在对有用信号完全先验未知的情况下，参考信号无法设置，因此在干扰噪声背景下，首先要取得对有用信号的最大似然估计。

（5）LCMV准则：对有用信号形式和来向完全已知，在某种约束条件下使阵列输出的方差最小。

可以证明，在理想情况下这几种准则得到的权是等价的，并且可写成通式 ，通常为维纳解。其中， a ( θ d )是期望信号的方向函数，亦称约束导向向量； 是不含期望信号的阵列协方差矩阵。

表3.1比较了MMSE、MSNR和LCMV三种波束形成算法的准则、代价函数、最优解及具有的优缺点。在表3.1中，当LCMV算法的线性约束条件取作 时，该算法就是MVDR算法。