第2章
随机变量及其分布

本章要点

1.随机变量X是定义在样本空间S上的实值单值函数.

2.随机变量的分布函数F（x）＝P｛X≤x｝，（－∞＜x＜＋∞）.

3.分布函数的性质：

4.若一个随机变量的所有可能值是有限个或者无限个，则称为 离散型随机 变量 .

常用离散型随机变量分布

（1）（0-1）分布

（2）二项分布

（k＝0，1，2，…，n， 0＜p＜1）

（3）泊松分布的分布律

5.设随机变量X的分布函数为F（x），如果存在非负可积函数f（x），使得对于任意x有 ，则称X是 连续型随机变量 ，其中f（x）≥ 0称为X的 概率密度函数 .

常用连续型随机变量的分布

（1）正态分布的概率密度

关于正态分布的重要公式：

（2）均匀分布的概率密度函数

（3）指数分布的概率密度函数

6.随机变量函数的分布

（1）离散型随机变量函数的分布

如果X是离散型随机变量，则其函数Y＝g（X）也是一个离散型随机变量，则其分布律为：

（2）连续型随机变量函数的分布

如果X是连续型随机变量，则其函数Y＝g（X）也是一个连续型随机变量，求随机变量Y＝g（X）的概率密度的方法为：先求出其分布函数.

再对F _Y （y）求导得到Y的概率密度f _Y （y）.

7.二维随机变量（X，Y）的联合分布函数

联合分布函数性质

①F（x，y）是变量x和y的不减函数.

②0≤F（x，y）≤1，且有对于任意固定的y， ；对于任意固定的x， ＝0；

③F（x，y）＝F（x＋0，y），F（x，y）＝F（x，y＋0），即F（x，y）关于x右连续，关于y也右连续.

二维离散型随机变量的联合分布律

式中（x _i ，y _j ），i，j＝1，2，…——二维随机变量（X，Y）的所有取值.

分别为随机变量（X，Y）关于X和Y的边缘分布律.

离散型二维随机变量的条件分布律

二维连续型随机变量

性质：

④若G是xOy平面上的一个区域，则随机变量（X，Y）落在G内的概率是：

边缘概率分布函数

连续型随机变量的边缘密度函数

连续型二维随机变量的条件概率分布

（1）若 为在Y＝y的条件下X的条件概率密度.

（2）若 为在X＝x的条件下Y的条件概率密度.

随机变量独立的定义

离散型：X与Y相互独立 P｛X＝x _i ，Y＝y _j ｝＝P｛X＝x _i ｝P｛Y＝y _j ｝，即p _ij ＝

连续型：X与Y相互独立 7w9JDUfIFMCSCZs6Ut2B0Js5NDSR+M0pzlRC4OPcKbgRTqVEB1bqIR8JtRT91Gf8