3.1 基本力学参数的确定及意义

板材的力学性质决定了板材成形过程中应力与应变的变化，其直接导致了零件最终的几何尺寸和应力分布。在此过程中，材料经历了弹性变形与塑性变形两种不同的变形模式。板材成形为特定形状需要某些材料点经历不可恢复的塑性流动，其塑性应变是很大的。相比于塑性应变，弹性应变小得多，但其是金属材料中应力的产生来源。特别强调，不存在所谓的塑性应力，所有变形中产生的应力只与弹性应变有关。

基本力学参数确认的核心就是利用简单的试验尽量减少过程的影响而得到材料本身性质。

3.1.1 拉伸试验中的基本力学参数

由于操作便捷却可以得到最重要的力学信息，单向拉伸试验一直是应用最为广泛的力学试验。拉伸试验的试件设计如图3-1所示，一般形象地称之为“狗骨头棒”形试件。这类试件由加持段、过渡段、平行段组成。基于不同行业标准，例如ASTM E8—2021，ISO 6892-1：2019或JISZ 2201—1998等，其几何尺寸有所不同。近年来的研究表明，JISZ 2201标准对高强度钢的拉伸试验更为合适。

将试件竖直加载在万能试验机上，匀速拉伸直至试件断裂。试验机会记录下载荷 P 随时间的变化曲线。平均化后得出材料点的工程应力 S = P/ （ W ₀ t ₀ ）。试件平行段居中的部分，称之为标距段，即用应变引伸计测量变形的区域。利用引伸计记录下标距段的距离 L 与初始距离 L ₀ 之间的变化 e =（ L-L ₀ ） /L ₀ ，称之为工程应变。工程应力与工程应变可通过如下公式转化成真实应力与真实应变。

式中， e 、 S 分别对应于工程应变与工程应力； ε 与 σ 分别对应真实应变与真实应力。如图3-2所示，从工程应变的定义可以看出，其隐含的前提是标距段内变形是均匀的。在工程应力达到最高点以后，颈缩（necking）开始，变形过渡到不均匀阶段。因而把颈缩以后的工程应力应变曲线转化成真实应力应变曲线已经没有意义，也不能作为材料性能输入到模拟计算中。另一个有趣的例子是某些中锰高强度钢在拉伸初始变形就不均匀，鲁德思带（Lüders Band）伴随着整个变形过程。此时工程应变与真实应变不再具有对应关系，变形的过程需要数字散斑系统（Digital Image Correlation System）来研究。

通常我们设定试件在加载过程中的工程应变率约为0.001/s，即准静态试验。在板材实际成形过程中，其材料点的应变率最高会达到1/s～10/s，比准静态试验的应变率高出3～4个数量级。这种应变率上的区别通常被人为忽略了，其带来的误差一般不会对成形造成太大影响，不过对某些特殊的应变率敏感材料，这种误差可能会很大。

单向拉伸时，薄板试样宽度方向实际应变与厚度方向实际应变之比通常被称作板材的 R 值。 R 值的大小体现了板材抵抗厚度方向变形的能力。通常的，对于某些先进高强度钢，其 R 值会小于1，其变形能力也会相应地下降。各向同性的情况下，板材的 R 值为1。

真实应力与塑性应变的关系可拟合成如下式表示的Holloman形式。其中的 n 值表征了板材的加工硬化能力。 n 值越大，材料抵抗局部变形的能力越强，相应的伸长率也会更高。特别的，对于符合Holloman形式的材料，其均匀伸长率就等于 n 值。

一个值得注意的问题是杨氏模量的取得。通常认为在屈服前材料是线弹性阶段，应力应变曲线的斜率即为杨氏模量。实际试验中会发现这种线弹性的假设是不成立的。应力应变曲线从开始就不是完全线性的。因而不同标准下得出的杨氏模量会有较大出入。具体的细节在本章最后回弹部分讨论。笔者想强调的是单向拉伸不是一个测量杨氏模量的精确方法。更为精确的杨氏模量的取得需要声学法等其他方法。

3.1.2 屈服准则

1913年Von Mises提出，在任意受力状态下，三个主应力的等效应力达到某一定值时，材料发生屈服开始塑性变形。可以表示为

假设变形物体为各向异性，则其具有三个各向异性主轴，分别为沿轧制方向、垂直于轧制方向以及沿板厚方向。当变形体的应力主轴与各向异性主轴恰好重合时，仿照Mises准则，Hill提出了正交各向异性体的屈服条件为

为了更加准确地描述材料的变形行为，一大批学者针对不同材料及不同工艺下的屈服行为进行了研究。

Hill将各向异性引入屈服准则，提出现在广泛应用的Hill48屈服准则，之后又针对不同的材料和受力情况提出了Hill79、Hill90、Hill93屈服准则，Lin和Ding在Hill90的基础上加上Taylor模型，更好地描述面内各向异性屈服行为。Hosford在多晶学计算的基础上提出一个不含剪应力的屈服准则，该准则针对体心立方和面心立方材料的描述与晶体模型计算结果吻合度很好。之后，Barlat基于Hosford准则提出Barlat及后续的Barlat1989、Barlat1996、Barlat2000等模型。

基于不同材料，选择合适的屈服准则是同步工程工程师必须考虑的问题。从最基础的只有一个参数的Mises各向同性屈服准则到各向异性多参数的Hill、Barlat系列屈服准则，工程师需要对材料的各向异性行为作出判断。

最近通用汽车与同济大学的研究人员通过十字拉伸试验获得了不同等效塑性应变下的屈服轨迹。研究显示，高强度钢屈服面的形状会随着塑性应变的增加而变化。在等效塑性应变达到一个特定值时，屈服面的形状趋于稳定。因而在做参数拟合时，找到合适的拟合位置对于后续的计算准确性有一定的影响。

3.1.3 硬化模型与包氏效应

通常的，我们把描述材料应力与变形的关系称为材料的本构关系（图3-3）。本构关系的建立对于描述材料的力学行为非常重要，也为准确地预测板材的成形与回弹奠定了基础。传统的描述钢板的塑性本构模型都是基于线性等比例加载试验（例如单向拉伸试验）构造的。而这样的本构对于描述板材成形工艺是不准确的。在金属板材成形过程中，大多数的材料点经历了复杂而非单一的加载模式。比如在模具弯角处的材料在弯曲、反弯曲的过程中经历了应变路径的迅速改变。对于板材成形的CAE模拟来说，精确描述这种复杂加载模式的应力应变关系或者说本构模型对于成形与回弹的可靠预测是必不可少的。因而，考虑非等比例加载下的本构关系，特别是加载、反向加载工况下的本构关系变得非常重要。

如图3-4所示DP590板材试件经历了压缩-拉伸试验。为了方便对比，使用累计真实应变绝对值与真实应力绝对值分别作为横轴与纵轴。从试验曲线可以看出，反向加载后出现三个特征： ① 过早屈服； ② 过渡区硬化； ③ 永久软化。这些特征通常被称作包氏效应（Bauschinger effect）。构建一个简单有效的描述包氏效应的本构模型对于工程应用是必需的。

对于硬化模型，通常可分为等向硬化模型（Isotropic Hardening）与随动硬化模型（kinematic hardening），以及这两种模型的叠加（图3-5）。其中只有含随动硬化模型的本构方程可以描述包氏效应。Prager与Ziegler最早引入了描述包氏效应的线性随动硬化模型。Mroz基于引入硬化模量场的方法，把线性随动硬化模型推广到更一般意义上的多屈服面模型里。基于Mroz的工作，Dafalias与Popov提出了双屈服面模型。在这个模型里塑性模量不再像多屈服面模型里是线性分段结构，而是一个连续的函数。另一方面，Armstrong与Frederick提出了非线性的随动硬化模型，其是由Prager模型上加入非线性项实现的。非线性的随动硬化模型应用非常广泛，后来许多学者都对其修改并展开研究。从应用的角度出发，本章只介绍基于现象的最为重要而广泛应用的硬化模型：非线性随动硬化模型。

为了描述一个非线性的应力应变曲线，Armstrong与Frederick提出了非线性的随动硬化模型，其是由Prager模型上加入非线性项实现：

式中， p 是等效塑性应变； c 与 γ 是与材料相关的参数； α 为屈服面中心，也成为背应力项。对于一维表述，解析表达式为

式中， v =±1，分别对应于单向拉伸与单向压缩的工况。包氏效应中的过早屈服与过渡段硬化都可以从上式中推出。而永久软化在此基础模型中无法表述。

Chaboche推广了Armstrong与Frederick模型，将背应力推广为几项之和。

这里每一项 α _i 是独立演化的。参数增加提高了该模型拟合实际材料的能力。当其中的一项背应力为线性，即 γ _i =0时，

永久软化的影响通过上式得到体现。对于一维问题，永久软化的大小为2 c _m ε _pre 。显然永久软化的大小正比于反向加载前应变的大小。

图3-6为三项（ m =3） α 下拟合的3组压缩-拉伸试验。数值模拟与试验结合得很好。