第3章
从伊尚戈骨头到欧几里得

即使是史前部落，也需要计数，例如，为了确保家里所有的牛都回来了，或者部落成员在数量上超过了敌方。最原始的计数形式，需要在计数对象和其方便参考的对象之间例如手指建立一一对应的关系。即使到了今天，非洲的一些猎人仍然通过收集牙齿来统计他们捕杀到的野猪数量；生活在乞力马扎罗山山坡上的马赛部落的年轻女子，为了计算年龄，还是每长一岁就在脖子上套一个黄铜圈。

这个计数过程很快演变得更为细致，人们在骨头或石头上保留“计数标记”。1962年，人们在伊尚戈渔村[位于今刚果（金）和乌干达接界处爱德华湖岸边]发现了一块这样的骨头，称之为“伊尚戈骨头”，这块骨头被推测源自公元前9000年至前6500年。如果这块骨头上的标记确实是许多历史学家认为的计数标记，那么这可能是最早的数学活动记录。

数学的起步虽然很低，但发展起来相当迅速。计数让原始人意识到，“一头牛加一头牛，等于两头牛”，这和“一根长矛加一根长矛，等于两根长矛”是一样的道理。从具体经验中提炼出“一加一等于二”的抽象思想，是抽象数学思想的第一个重大突破。

这一点人们在今天看来是显而易见的，它涉及将“1”和“2”视为独立的抽象实体，独立存在，无须与牛或长矛联系在一起。也就是说，当有人说“2”的时候，人们不会再问：“两个什么东西？”

实际上，要表达这种抽象概念，需要一门语言中有可以独立表示数字的词汇。所有的古文明——尤其是中国文明、古埃及文明、古巴比伦文明和古印度文明——在某个阶段都创造出了专门表示数字的词汇。在早期，表示数字的词汇通常来源于身体部位、手指、头部等，但只能表示较小的数目。最初只有表示1和2的词汇，很少有关于3的词汇，再往上就是表示“许多”的词汇。

最早的数学符号很明显是根据这些“数字词汇”书写形成的，并很快被提炼为更为紧凑实用的形式。其中最原始、很复杂的符号是罗马数字Ⅰ、V、X、L、C等，一直沿用至今。当然，最实用的是阿拉伯数字（又称印度-阿拉伯数字），在本书第7章中会有专门介绍。其他一些文明也发展出了自己的数学符号。

位值制记数法和0的概念标志着数字表达方式的重大发展。位值制记数法让人们可以根据同一个符号在一串数字中出现的不同位置，为其赋予不同的数值。例如，人们认为数字8在89中的值，与其在28中的值不相同。这个概念非常古老，几乎每一个发达的古代文明都能发展出某种形式的位值制记数法。

下一个重要步骤是发展出0的概念，它实际上包含两个方面，二者之间有微妙的差异。第一个方面是需要一个0的符号来区分位值制记数法中的304和34。不同的文明以不同的方式处理这个问题，比如使用一个空格、一个点或一个圆作为0的符号。第二个方面也是更高级的层面，是认识到0就像3或5一样，本身就是一个数字，并且为它制定了明确的操作规则。印度数学似乎很早就意识到了这一点，即0本身也是一个数字，而不仅仅是位值制记数法中的一个占位符。印度天文学家和数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta，598—668）在公元628年左右撰写的一部早期著作《婆罗摩修正体系（ Brahma-sphuta-siddhanta ）中，就将0作为一个数字加以讨论过（见知识框3.1）。

除了计数，古人还研究了尺寸和形状，推动了几何学的发展。希腊人，尤其是泰勒斯和毕达哥拉斯（见第1章和第2章），对几何学的发展做出了重大贡献。但有一个人的贡献最大，他的著作历经几个世纪产生了持久影响，这个人就是欧几里得（Euclid，约前300—前275）。

许多古文明，包括古巴比伦、古埃及、中国和古印度，都有位值制记数法的概念。在位值制记数法中，数字符号的值取决于其在字符串中的位置，例如，符号4在45和54中的值不同。位值制记数法之后的一个重要发展是区分405和45，这只有在具备了表示“没有”的符号后才有可能实现。发展到这一步似乎要晚得多，在不同的阶段发展出各种表示“没有”的方式，如使用空格、点等。确定的零最早出现在公元870年刻在印度瓜廖尔附近一座小寺庙墙壁上的文字中。这段铭文罗列了当地国王赠送给寺庙的各种礼物，其中包括“一块长270哈斯塔斯、宽187哈斯塔斯的土地”。这个被称为“sunya”的符号是在印度发展起来的，后来通过阿拉伯人传到了西方，在此过程中演变成了“zero”。上图显示了从（印度）“sunya”到（现代）“zero”的演变。

公元前323年，亚历山大大帝去世后，马其顿帝国一分为三，埃及地区由托勒密·索特尔（Ptolemy Soter）统治，他统治的王朝延续了近250年，到克莱奥帕特拉（Cleopatra）结束。他定都于亚历山大，亚历山大大学 的大门，使这座城市在几个世纪中均成为世界各地学者的学术活动中心。数学家欧几里得就是亚历山大学派的一位学者。

人们对欧几里得的个人生活了解不多，只知道他在亚历山大大学任教过几年。欧几里得最重要的成就是编写了一部13卷的专著，名为《几何原本（ The Elements ），在过去两千多年里一直主导着几何教学，这无疑让他在科学史上备受瞩目。

欧几里得时代《几何原本》所有的现代版本都是基于亚历山大的席恩（Theon）编写的版本，或基于在梵蒂冈图书馆发现的匿名汇编。在中世纪的不同时期，分别有三位阿拉伯学者将欧几里得的希腊语评注翻译为阿拉伯语（见图3.2），后来又由阿拉伯语翻译成拉丁语，第一个拉丁语译本是在公元1120年由巴斯的阿德拉德（Adelard）翻译的。当时阿德拉德为了获得一份阿拉伯语译本，不得不乔装打扮成阿拉伯学生的样子前往西班牙！在以上所有版本中，《几何原本》均由13卷组成，共包含465条定理。

《几何原本》的第1卷从基本公理出发，研究关于三角形、平行线和直线图形的同余定理（其中定理47即毕达哥拉斯定理，本书第2章介绍过）；第2卷研究了毕达哥拉斯几何结构的代数思想；第3卷涉及圆、切线和割线的几种计算结果；第4、5、6卷讨论各种几何结构和图形的相似性；最后3卷（11、12和13）是关于立体几何的定理。可能最引人注目的——也是最鲜为人知的——是第7卷至第10卷的内容。这几卷讨论的不是纯粹的几何问题，而是数论的基本结果！事实上，这几卷中包含了数论学科中一些最基本的结果。

亚历山大的欧几里得，生活在公元前300年左右，编纂了一部由13卷书组成的几何学巨著，名为《几何原本》。在过去的两千多年里，这部著作一直主导着几何教学。欧几里得时代的原始版本已不可得，但在欧几里得时代将近700年后，希腊学者、亚历山大的席恩，就《几何原本》写了一篇评注，成为后人可参用的两个来源之一，另一个来源是梵蒂冈图书馆的匿名汇编。在中世纪的不同时期，三位阿拉伯学者将希腊评注翻译成了阿拉伯语。1120年，阿拉伯语版由巴斯的阿德拉德翻译成拉丁语。很多希腊人的作品都是这样通过阿拉伯文明保存下来，在几个世纪后又重新出现在欧洲。

当然，《几何原本》是在前人贡献的基础上汇编而成的。在欧几里得之前，亚历山大大学使用的是特尤迪乌斯（Theudius）编写的教材。欧几里得在其基础上进行扩充，大量借鉴了特尤迪乌斯、欧多克索斯（Eudoxus） 和科斯的希波克拉底（Hippocrates，约前460—约前377）在几何学和数论方面的研究成果。事实上，一些历史学家质疑，欧几里得的出色仅表现在他掌握了充分资料的领域。但《几何原本》即便是作为汇编，也堪称一流，其中的逻辑和顺序应完全归功于欧几里得，而这本身就是对学科发展所做出的杰出贡献。欧几里得可能并不是一流的数学家，但他绝对是一流的老师，他的著作在后来2000多年的时间里一直被人们当作教材使用，几乎没有任何改动。欧几里得可能是有史以来最成功的教科书编写者，在印刷术发明后，《几何原本》已经出版了1000多个版本！