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毕达哥拉斯（Pythagoras，前580至前570之间—约前500）出生于爱琴海的萨莫斯岛，在公元前529年前后他移居到今意大利南部的克罗顿地区。那时，意大利南部和西西里岛东部的海岸已经成为希腊的殖民地，生活方式渐趋希腊化。在克罗顿，毕达哥拉斯创建了毕达哥拉斯学派，将最初盛行于希腊东部的泰勒斯哲学传统传播到遥远的西部。学派的成员就数学、哲学和神学展开了细致入微的辩论，但不幸的是，他们对自己的活动秘而不宣，因此被人们看作奉行危险价值观的神秘邪教。在毕达哥拉斯生活的那个时代，经常有人遭受迫害，毕达哥拉斯自己最终也不得不逃离克罗顿，在流亡中度过了生命中的最后十年。
毕达哥拉斯学派行动的神秘性也让后世的历史学家无法客观认定毕达哥拉斯的贡献。毕达哥拉斯自己没有任何著作流传于世，人们只能通过后人对他学说的引用来评判他的贡献。基于这些被引用的内容，毕达哥拉斯有两个贡献绝对值得重视。
第一个是毕达哥拉斯关于声音的产生进行的一系列实验。通过研究绷紧的弦被拨动后发出的声音，毕达哥拉斯很快意识到，人们听起来悦耳的声音一般都是由音程跨度合理的音阶所组成的。他还发现了音色和弦长之间的关系，比如，如果一条弦的长度是另一条弦的两倍，那么这条弦发出的声音就会比另一条弦低八度。这可能是有史以来在所有物理学分支中进行的第一组系统性实验了。
这些实验结果让毕达哥拉斯学派相信，整个世界都可以用简单的有理数来构建。他们对这个想法非常痴迷，甚至把一些神秘的特性都归因于有理数！虽然关于有理数的想法过于简单化，但现代数学的一个活跃分支——数字研究——也由此开启。因此，人们不难想象，当毕达哥拉斯学派意识到这世上竟然还存在无理数时，该有多么震惊。无理数指的是不能用两个自然数之比表示出的数字。如果正方形的边长为1，其对角线的长度就是一个无理数。据传说虽然毕达哥拉斯学派对无理数的存在严守秘密，但学派中一些不够忠诚的成员还是把这个信息泄露了（见知识框2.1）！
关于这个著名定理的“标准”证明法有些复杂，但如果发挥一下想象力，你就能轻松看出这个结论的有效性。下图就是关于这条定理的两种证明法（见知识框3.2）。（A）图是中国古代人使用的证明方法；（B）图的方法则由印度数学家巴斯卡拉（Bhaskara，1114—1185）提供，他还附带给出一个简洁的评论，就是：“瞧！”
第二个是毕达哥拉斯也可能是第一个明白地球是圆的，太阳、月亮和行星的轨道与恒星的轨道大不相同的人。他还猜测，启明星（在神话中被称为福斯福洛斯）和长庚星（赫斯珀洛斯）实际上是同一颗星球，他将其命名为阿芙罗狄蒂（Aphrodite），即人们现在所知的金星。后来有几位思想家深受毕达哥拉斯学派的影响，包括阿那克萨哥拉斯（Anaxagoras，约前500—约前428），他在雅典教书近30年，致力于为毕达哥拉斯学派的思想寻找更加理性的基础；还有德谟克里特（Democritus，约前460—约前370），他是第一个将原子论物质观引入西方的人（见知识框16.2）。
在诸多雅典人当中，最著名的是柏拉图（Plato，约前427—前347），与其说他是科学家，不如说他是位哲学家（顺便提一句，正是通过柏拉图，人们才得以了解苏格拉底的大部分思想）。然而，柏拉图却对数学非常着迷，认为数学是“最纯粹的哲学形式”，并试图用数学思想来描述天空。他知道世界上有五种，而且只有五种规则多面体。规则多面体的各个面完全相同，各个面相交的所有边和角也都相等（见图2.1）。规则多面体是指四面体、六面体（立方体）、八面体、十二面体和二十面体。毕达哥拉斯学派以及后来的柏拉图都认为这五种正多面体在自然界中一定起着至关重要的作用。他们假设四种元素的“原子”——火、土、气和水分别呈四面体、立方体、八面体和二十面体的形状。[在亚里士多德（Aristotle，前384—前322）时代，以太作为第五种元素被引入，并被认定为十二面体。]柏拉图试图将整个自然世界装进基于这些“完美”的规则体建立的模型之中。他认为天空应该反映了人类对完美的认知，这一思想在后来的时代中占据了主导地位（见知识框2.2）。
图2.1 规则多面体
柏拉图知道世界上有五种，而且只有这五种规则多面体。规则多面体各个面完全相同，各个面相交的所有边和角也都相等。如图所示，这五种柏拉图多面体分别是四面体、六面体（俗称立方体）、八面体、十二面体和二十面体。事实上，柏拉图试图用这些“完美的”多面体为整个自然界建立模型。
柏拉图还在雅典建立了著名的柏拉图学园（见图2.2），多年来影响了地中海各国人民的哲学思想。然而，柏拉图学园一度被视为异教的大本营，查士丁尼大帝（Emperor Justinian）在公元529年下令将其关闭，基本上就是因为这个原因。
图2.2 柏拉图和亚里士多德
柏拉图和亚里士多德是雅典的柏拉图学园的重要人物，他们影响了人们几个世纪以来对自然的看法。这幅画是拉斐尔（Raphael）在壁画《雅典学院（ The School of Athens，作于公元1509—1511 ）中对两个人的描绘。
如今，人们已经知道围绕着恒星的行星系统无处不在，银河系中的数百颗恒星周围都有行星围绕它们运行。因此，恒星周围行星的数量及其轨道半径不再具有任何特殊意义。但是，在中世纪时期，人们只知道有五颗行星存在：木星、土星、火星、金星和水星。
开普勒（Kepler，1571—1630）发现了关于行星运动的定律，并能够将行星围绕太阳运行的轨道周期和它们与太阳之间的距离联系起来。但开普勒很好奇，究竟是什么决定了这些行星与太阳之间的距离。开普勒被柏拉图规则体的概念迷住了，试图用柏拉图规则体来给已知的行星轨道建立模型（见图2.3）。
图2.3 开普勒的“天体音乐”
这套模型从一个代表土星轨道半径的球体开始，在其中嵌入一个立方体，在立方体中放入另一个球体代表木星轨道，在这个球体中放入一个四面体，在这个四面体中放入另一个球体代表火星轨道，在这个球体内放一个十二面体来固定地球，还有一个二十面体用来固定金星，最后是一个八面体，里面有一个球体代表水星轨道。有趣的是，通过这个程序计算出的行星轨道半径与观测到的轨道半径相当吻合！这是一个用完全错误的模型正确解释了所观测到的事实的经典案例！
亚里士多德是柏拉图学园思想家中的重要人物，被认为是学园之灵。结果柏拉图最后却指定了另一个人作为他的继任者，亚里士多德退出学园以表抗议。之后，亚里士多德受聘成为马其顿亚历山大（Alexander）王子（后来的亚历山大大帝）的老师，这段时间大约有6年。然后他回到雅典，创立了自己的学院吕克昂（Lyceum），在那里授课近12年，单凭他一个人的讲座就能汇编成一部超过50卷的知识百科全书。
亚里士多德最大的贡献是在生物学领域，他对动物物种进行了细致的分类，将500多个物种分为不同的等级。这一分类方案和相关理念相当“现代”。例如，他将海豚和陆地动物归为一类，因为他知道海豚是通过胎盘来孕育胎儿的。后来人们反而不具备这种逻辑思维，把海豚又归回到海洋动物类。这让生物学家又花了将近2000年的时间才把这个错误纠正过来！亚里士多德还仔细观察了发育中的鸡胚胎，以及复杂的牛胃结构。
亚里士多德在“自然哲学”领域（这一科学分支人们现在称为物理学）的尝试并不十分成功。出于某种奇怪的原因，亚里士多德在物理研究中并没有使用让他在生物学领域获得成功的实验和观察方法。他为五种元素（土、水、火、气和以太——最后一种元素是他自己的创新）各赋予一个“自然场所”，根据其特性来解释自然现象。例如，他坚信，较重的石头比较轻的石头落到地上的速度快，而且——令人惊讶的是——他从未费心去验证这个结论。事实上的确是他搞错了，而且这个错误还导致了严重的后果，但为爱因斯坦的广义相对论奠定了基础！
后面的几章会反复提到的一个主题是关于天空和天体运动的描述，亚里士多德的错误观点在几个世纪都占据了主导地位。例如，其中一种观点涉及太阳（和星星）每天升起落下的原因。毕达哥拉斯学派把这归因于地球绕地轴的自转。古代有一个人，萨莫斯的阿里斯塔克（Aristarchus，约前310—前230），甚至提出了日心说，即地球不仅围绕地轴自转，而且还围绕太阳旋转。然而，亚里士多德反对关于地球有任何运动的观点，他认为有一个包含了固定位置恒星的天球在围绕着地球旋转。后来的天文学家尤其是托勒密也认同亚里士多德的观点，托勒密还认为，如果地球自己也在旋转，人们就会感受到持续的大风。
具有讽刺意味的是，尽管亚里士多德在后来的思想家中占主导地位，但他在自己所处的时代并不像柏拉图那样有影响力。亚里士多德的作品在他去世后才得以出版，而这些作品在罗马沦陷后不久，就在欧洲消失匿迹了。但阿拉伯人将这些著作保存了下来，而且对其非常珍视。很久以后，到了12—13世纪，欧洲基督教才重新发现了阿拉伯语文本，并将其翻译成拉丁语。这让亚里士多德在中世纪欧洲成了最有影响力的古代哲学家之一。
[1] 即勾股定理，两个直角边的平方和等于斜边的平方（a 2 +b 2 =c 2 ）。——编者注