第一节
时间价值理论

一、资金时间价值概念

两笔等额的资金，由于发生在不同的时期，它们在价值上就存在着差别，发生在前的资金价值高，发生在后的资金价值低。产生这种现象的根源在于资金具有时间价值。

资金的时间价值，是指资金在生产和流通过程中随着时间推移而产生的增值。

资金的时间价值是商品经济中的普遍现象，资金之所以具有时间价值，概括地讲，是基于以下两个原因：

1.从社会再生产的过程来讲，对于投资者或生产者，其当前拥有的资金能够立即用于投资并在将来获取利润，而将来才可取得的资金则无法用于当前的投资，因此也就无法得到相应的收益。正是由于资金作为生产的基本要素，进入生产和流通领域所产生的利润，使得资金具有时间价值。

2.从流通的角度来讲，对于消费者或出资者，其拥有的资金一旦用于投资，就不能再用于现期消费。消费的推迟是一种福利损失，资金的时间价值体现了对牺牲现期消费的损失所应作出的必要补偿。

由于资金存在着时间价值，今天的一笔钱存入银行，由于随着时间的推移可获得利息，由此它就比明年的今天所拥有的同样的一笔钱更值钱；今天可以用来投资的一笔资金，由于随着时间的推移可获得利润，因此即使不考虑通货膨胀的影响，也比将来任何时期所获得的同样数额的资金更有价值。资金利息和资金的利润可以说是具体体现资金时间价值的两个方面，是衡量资金时间价值的绝对尺度。但在实际中，由于习惯使用相对数字来表示资金的时间价值，而利率和利润率恰恰又都是表示原投资所能增值的百分数，因此往往用这两个量来作为衡量资金时间价值的相对尺度，并且经常两者不加区分，统称为利率。

二、现金流量图

（一）现金流量

所谓现金流量是指拟建项目在整个项目计算期内各个时点上实际所发生的现金流入、现金流出，以及流入与流出的差额（又称为净现金流量）。现金流量一般以计息期（年、季、月等）为时间量的单位，用现金流量图或现金流量表表示。现金流量表的内容在后面介绍，这里先介绍现金流量图。

（二）现金流量图

现金流量图是描述现金流量作为时间函数的图形，它能表示资金在不同时间点流入与流出的情况。现金流量图包括三大要素：大小、流向、时间点。其中大小表示资金数额，流向指项目的现金流入或流出，时间点指现金流入或流出所发生的时间。

现金流量图的一般形式如图 2.1.1 所示。

在图中，横轴称为时间轴，表示一个从 0 开始到 n 的时间序列，每一个刻度表示一个计息期，比如说按年计息，则时间轴上的刻度单位就为年。在时间轴上 0 代表时间序列的起始点，从 1 到 n 分别代表各计息期的终点。除 0 和 n 以外，每个数字都有两个含义，如 2，它既代表第二个计息期的终点（结束），又代表第三个计息期的始点（开始）。相对于时间轴的纵坐标用来描述现金流量。箭头向上表示现金流入，即有资金流入时，此时现金流量为正值，箭头向下表示现金流出，即有资金流出时，此时现金流量为负值，箭线的长度与流入或流出的金额成正比，金额越大，其相应的箭线的长度就越长。需要特别指出的是，现金流量的位置确定问题，如第三年发生了一笔资金的流入或流出，因而形成了相应的现金流量，那么这笔现金流量应该标在时间轴上的哪一个时点上呢？是标在2上呢（因为2是第三年的始点），还是标在3上呢（因为3是第三年的终点）？对这个问题有两种处理方法，一种方法是工程经济分析中常用的，其规定是现金流入（收益）标示在年（期）末，而现金流出（投资）标示在年（期）初；另一种方法是在项目财务评价中常用的，即以计息期末为现金流量的时点，无论现金的流入还是流出均标示在年（期）末。本书采用工程经济分析中的处理方法，按照这种方法的规定，前面所提到的这笔现金流量，如果是现金流入（收益），就应该标示在3这个时点上，如果是现金流出（投资），就应该标示在 2 这个时点上。

三、利息与利率

我们已经知道，利息是衡量资金时间价值的绝对尺度，是其最直观的表现，计算资金时间价值的方法主要是计算利息的方法。利息通常根据利率来计算，利率是在一个计息期内所得的利息额与借贷金额（本金）的比值。

利息的计算有单利法和复利法两种。

（一）单利法

单利法是指只对本金计算利息，而对每期的利息不再计息，从而每期的利息是固定不变的。其利息计算公式为：

式中 I _n ——利息；

P ——本金；

i ——利率；

n ——计息期。

其本利和公式为：

式中 F ——第 n 期期末的本利和。

［ 例 2-1 ］ 有一笔50 000元的借款，借期 3 年，按每年 8 %的单利率计息，试求到期时应归还的本利和。

解： 用单利法计算，其现金流量图见图 2.1.2。

根据公式（2.1.2）有： F = P + P × i × n = 50 000+ 50 000 × 8 %× 3 = 62 000（元）

即到期应归还的本利和为62 000元。

单利法虽然考虑了资金的时间价值，但仅是对本金而言，而没有考虑每期所得利息再进入社会再生产过程从而实现增值的可能性，这是不符合资金运动的实际情况的。因此单利法未能完全反映资金的时间价值，在应用上有局限性，通常仅适用于短期投资及期限不超过一年的借款项目。

（二）复利法

复利法是在单利法的基础上发展起来的，它克服了单利法存在的缺点，其基本思想是：将前一期的本金与利息之和（本利和）作为下一期的本金来计算下一期的利息，也就是利上加利的方法。其利息计算公式为：

式中 F _n-1 ——第 n -1 期期末的本利和。

其本利和的计算公式为：

公式（2.1.4）的推导过程如表 2.1.1 所示。

［ 例 2-2 ］在［例 2-1］中，若年利率仍为 8 %，但按复利计息，则到期应归还的本利和是多少？

解： 用复利法计算，根据复利计算公式（2.1.4）有：

与采用单利法计算的结果相比增加了985.60元，这个差额所反映的就是利息的资金时间价值。

复利法的思想符合社会再生产过程中资金运动的实际情况，完全体现了资金的时间价值，因此，在工程经济分析中，一般都是采用复利法。

四、资金时间价值的计算

在工程经济分析中，为了正确地评价投资项目的经济效果，必须对项目在整个计算期内不同时间点上所发生的全部资金流入和流出进行计算和分析，即要比较发生在不同时间点上各种资金的真实价值。由于资金存在时间价值，这样在不同时间点上发生的现金流量其数值不能直接相加或相减，为了达到对投资项目的现金流量进行计算和分析的目的，这里我们采用一种称为资金等值计算的方法将不同时间点上发生的现金流量换算为同一时间点上的等价的现金流量，然后再来进行计算和分析。这种考虑时间因素对现金流量进行转换计算的过程，就是资金时间价值的计算过程。

（一）有关资金时间价值计算的几个概念

在进行资金时间价值的计算之前，先来明确几个相关的概念及其含义。

1. i ——利率（折现率）。在工程经济分析中把根据未来的现金流量求现在的现金流量时所使用的利率称为折现率。本书中对利率和折现率一般不加以区分，统统用 i 来表示，并且 i 一般指年利率（年折现率）。

2. n ——计息次数。指投资项目在从开始投入资金（开始建设）到项目的寿命周期终结为止的整个期限内，计算利息的次数，通常以“年”为单位。

3. P ——现值。表示资金发生在某一特定时间序列始点上的价值。在工程经济分析中，它表示在现金流量图中0点的投资数额或投资项目的现金流量折算到0点时的价值。折现计算法是评价投资项目经济效果时经常采用的一种基本方法。

4. F ——终值。表示资金发生在某一特定时间序列终点上的价值。其含义是指期初投入或产出的资金转换为计算期末的期终值，即期末本利和的价值。

5. A ——年金。是指各年等额收入或支付的金额，通常以等额序列表示，即在某一特定时间序列期内，每隔相同时间收支的等额款项。

6.等值。是指在特定利率条件下，在不同时点的两笔绝对值不相等的资金具有相同的价值。

（二）资金等值计算的基本公式

把在一个（一系列）时间点发生的资金额转换成另一个（一系列）时间点的等值的资金额，这样的一个转换过程就称为资金的等值计算。

由于利息是资金时间价值的主要表现形式，因此，对于资金等值计算来讲其方法与采用复利法计算利息的方法完全相同，也即以年复利率计息，按年进行支付。下面简单介绍一些常用的计算公式。

根据支付方式和等值换算点的不同，资金等值计算公式可分为两类：一次支付类型和等额支付类型。

1.一次支付类型。一次支付又称整付，是指所分析的系统的现金流量，无论是流入还是流出均在某一个时点上一次发生。它又包括两个计算公式：

（1）一次支付终值公式。如果有一项资金，按年利率 i 进行投资， n 年后本利和应该是多少？也就是已知 P 、 i 、 n ，求终值 F ，此类问题的解决需要的公式称为一次支付终值公式，其形式是：

公式（2.1.5）表示在利率为 i ，计息期数为 n 的条件下，终值 F 和现值 P 之间的等值关系。一次支付终值公式的现金流量图如图 2.1.3所示。

在公式（2.1.5）中，（1 + i ） ⁿ 又称为终值系数，记为（ F / P ， i ， n ）。

这样公式（2.1.5）又可写为：

在实际应用中，为了计算方便，我们按照不同的利率 i 和计息期 n ，分别计算出（1 + i ） ⁿ 的值，排列成一个表，称为终值系数表。在计算时，根据 i 和 n 的值，查表得出终值系数，然后与 P 相乘即可求出 F 的值。

［例2-3］ 某企业向银行借款1 000万元，期限为5年，年利率为12 %，则到期时企业应归还银行多少钱？

解： 这是一个已知现值求终值的问题，其现金流量图见图2.1.4。

由公式（2.1.5）可得： F = P （1 + i ） ⁿ = 1 000（1 + 12 %） ⁵ = 1 762.30（万元）

即 5 年后企业需向银行一次性归还 1762.30 万元。

这个问题也可以利用公式（2.1.6）查表计算求解。

由复利系数表（见附表）可查得：（ F / P ，12 %，5）=1.762 3

所以： F = P （ F / P ， i ， n ）= P （ F / P ，12 %，5）= 1 000× 1.762 3= 1 762.30（万元）

（2）一次支付现值公式。如果我们希望在 n 年后得到一笔资金 F ，在年利率为 i 的情况下，现在应该投资多少？也即是已知 F ， i ， n ，求现值 P 。这时我们用到的公式称为一次支付现值公式，其形式为：

其现金流量图如图2.1.5所示。

在公式（2.1.7）中，（1 + i ）- ⁿ 又称为现值系数，记为（ P / F ， i ， n ）。它与终值系数（ F / P ， i ， n ）互为倒数，可通过查表求得。因此公式（2.1.7）又可写为：

［ 例 2-4 ］ 某企业 6 年后需要一笔 500

万元的资金，以作为某项固定资产的更新款项，若已知年利率为 8 %，问现在应存入银行多少钱？

解： 这是一个根据终值求现值的问题，其现金流量见图 2.1.6。

根据公式（2.1.7）可得 P = F （1 + i ） ^-n = 500 ×（1 + 8%） ^-6 = 500 × 0.6302 = 315.10（万元）

即现在应存入银行 315.10 万元。

也可以通过查表，根据公式（2.1.8）得出。从附表可查得：（ P / F ，8 %，6）= 0.630 2

所以： P = F （ P / F ， i ， n ）= F （ P / F ，8 %，6）= 5 0 0 × 0.6 3 0 2 = 315 .10（万元）

2.等额支付类型。等额支付是指所分析的系统中现金流入与现金流出可在多个时间点上发生，而不是集中在某一个时间点，即形成一个序列现金流量，并且这个序列现金流量数额的大小是相等的。它包括四个基本公式：

（1）等额支付序列年金终值公式。其含义是在一个时间序列中，在利率为 i 的情况下连续在每个计息期的期末支付一笔等额的资金 A ，求 n 年后由各年的本利和累积而成的总值 F ，也即已知 A ， i ， n ，求 F 。类似于我们平常储蓄中的零存整取。其现金流量图如图2.1.7所示。其计算公式为：

公式（2.1.9）中 称为年金终值系数，记为（ F / A ， i ， n ）。因此公式（2.1.9）又可写为：

［例2-5］ 为设立某项基金的需要，每年年末存入100万元，若年利率为10 %，问3年后该基金内有多少钱？

解： 这是一个已知年金求终值的问题，其现金流量见图2.1.8。

根据公式（2.1.9）、（2.1.10）可有：

即 3 年后该基金内有 331.0 万元。

附：公式（2.1.9）的推导过程如下：

由图 2.1.8 根据一次支付终值公式（2.1.5）可得：

上式两边同乘以（1 + i ）则有：

后式减前式得：

即：

（2）偿债基金公式。其含义是：为了筹集未来 n 年后需要的一笔偿债资金，在利率为 i 的情况下，求每个计息期末应等额存储的金额。也即已知 F ， i ， n ，求 A ，类似于我们日常商业活动中的分期付款业务。其现金流量图如图 2.1.9 所求。

其计算公式可根据公式（2.1.9）推导得出：

公式（2.1.11）中 称为偿债基金系数，记为（ A / F ， i ， n ），它与年金终值系数（ F / A ， i ， n ）互为倒数。

公式（2.1.11）又可写为：

［例2-6］ 某企业5年后需要一笔50万元的资金用于固定资产的更新改造，如果年利率为 5 %，问从现在开始该企业每年末应存入银行多少钱？

解： 这是一个已知终值求年金的问题，其现金流量图见图 2.1.10。根据公式（2.1.11）及式（2.1.12）可有：

即每年末应存入银行 9.05 万元。

（3）资金回收公式。其含义是：期初一次投资数额为 P ，欲在 n 年内将投资全部收回，则在利率为 i 的情况下，求每年应等额回收的资金。也即已知 P ， i ， n ，求 A 。其现金流量图如图 2.1.11 所求。

资金回收公式可根据偿债基金公式和一次支付终值公式来推导出。即：

公式（2.1.13）中 称为资金回收系数，记为（ A / P ， i ， n ）因此资金回收公式（2.1.13）又可写为：

资金回收系数是一个重要的系数。它的含义是对应于工程项目的单位初始投资，在项目寿命期内每年至少应该回收的金额。在工程项目经济分析中，如果对应于单位初始投资的每年的实际回收金额小于相应的资金回收金额，就表示在给定的利率 i 的条件下，在项目的寿命期内不可能将全部投资收回。

［ 例 2-7 ］ 某项目投资 100 万元，计划在 8 年内全部回收投资，若已知年利率为 8 %，问该项目每年平均净收益至少应达到多少？

解： 这是一个已知现值求年金的问题，其现金流量图见图 2.1.12。

根据公式（2.1.13）、（2.1.14），可有：

即每年的平均净收益至少应达到 17.40 万元，才可以保证在 8 年内将投资全部收回。

（4）年金现值公式。其含义是：在 n 年内每年等额收支一笔资金 A ，则在利率为 i 的情况下，求此等额年金收支的现值总额，也即已知 A ， i ， n ，求 P 。其现金流量图如图 2.1.13 所示。

其计算公式可表示为：

公式（2.1.15）中 称为年金现值系数，它恰好是资金回收系数的倒数，记为（ P / A ， i ， n ）。因此公式（2.1.15）又可写为：

［例2-8］ 设立一项基金，计划在从现在开始的10年内，每年年末从基金中提取50万元，若已知年利率为10 %，问现在应存入基金多少钱？

解： 这是一个已知年金求现值的问题，其现金流量图见图 2.1.14。

根据公式（2.1.15）、（2.1.16）可有： P = = A （ P / A ， i ， n ）= 50×（ P / A ，10 %，10）= 50× 6.1446= 307 .23（万元）

3.小结。以上介绍的六个基本公式在工程经济分析中经常用到。为便于理解和查阅，将这六个公式列于表 2.1.2 中。公式中的六个系数，可根据不同的 i 值和 n 值进行计算，也可以直接查表得到。

五、实际利率与名义利率

利息通常是按年计算的。但在实际工作中，计算利息的周期与复利率周期可能会不完全相同，计算复利的次数会多于计息期数，也就是说，计算复利时，有时是一年计息一次，有时是半年计息一次，或每季度、每月计息一次。由于复利计算次数与计息期数不同，就会使计算得出的利息数额产生差异。因此，就需要将两种利率区别开来，一种是名义利率，另一种是实际利率。

（一）名义利率

以一年为计息基础，等于每一计息期的利率与每年的计息期数的乘积。它是采用单利计算的方法，把各种不同计息期的利率换算为以年为计息期的利率。例如每月存款月利率为3‰。则名义利率为3.6 %，即3‰×12个月/每年= 3.6 %。

（二）实际利率

是采用复利计算的方法，把各种不同计息期的利率换算成以年为计息期的利率。例如每月存款月利率为 3‰，则实际利率为 3.66 %，即（1 + 3‰） ¹² -1 = 3.66 %。需要指出的是，在资金的等值计算公式中所使用的利率都是指实际利率。当然如果计息期为一年，则名义利率就是实际利率，因此可以说两者之间的差异主要取决于实际计息期与名义计息期的差异。

（三）名义利率与实际利率的换算关系

设名义利率为 r ，每年计息期数为 m ，则每一个计息期的利率为 ，其一年后本利和的计算公式为：

其利息 I 为：

根据国际“借贷真实性法”的规定：实际利率是1年利息额与本金之比，因此实际利率为：

［ 例 2-9 ］某企业向银行借款，有两种计息方式，分别是：

A ：年利率 8 %，按月计息；

B ：年利率 9 %，按半年计息。

问企业应选择哪一种计息方式？

解： 企业当然应该选择具有较低实际利率的计息方式。

分别来计算 A 、 B 两种计息方式的实际利率。

根据公式（2.1.17）可有： A 方式： = 0.083 0 = 8.30 %

B 方式： = 0.092 0 = 9.20 %

由于 i _A ＜ i _B ，故企业应该选择的计息方式为 A 方式。

在进行等值计算时，如果现金流动期与计息期不同时，就需要注意实际利率与名义利率的换算，现举例如下。

［ 例 2-10 ］ 某项目采用分期还款的方式，连续 5 年每年末偿还银行借款 150 万元，如果银行借款年利率为8 %，按季计息，问截止到第5年末，该项目累计还款的本利和是多少？

解： 该项目还款的现金流量图如图 2.1.15 所示。

这是一个计息期与现金流动期不同的情况，其计算的方法有多种，这里我们采用实际利率的方法来求解。

首先求出现金流动期的实际利率。根据公式（2.1.17），有：

这样原问题就转化为年利率为8.24 %，年金为150万元，期限为5年，求终值的问题。然后根据等额支付系列年金终值公式，有：

即该项目累计还款的本利和是 884.21 万元。

需要说明的是，在进行资金时间价值的等值计算时，有一个应该注意的问题，就是现金流量形式是否与等值计算公式中的现金流量形式相一致。如果一致，可直接利用公式进行计算，否则应先对现金流量进行调整，然后再进行计算。举例如下。

［例2-11］ 某企业5年内每年初需要投入资金100万元用于技术改造，企业准备存入一笔钱以设立一项基金，提供每年技改所需的资金。如果已知年利率为6 %，问企业应该存入基金多少钱？

解： 这个问题的现金流量图如图 2.1.16 所示。

从图中可以看到，此时的等额支付（即年金）是发生在期初（此时年金又称为预付年金），而在等值计算公式中的年金是发生在期末，因此不能直接套用公式，而应该先进行现金流量的调整，调整为正常年金后再利用公式进行计算。

调整后的现金流量情况可参看图 2.1.17。

由图2.1.17可知，这是一个已知 A ， i ， n ，求 P 的问题。根据年金现值公式，有：

P = A '（ P / A ， i ， n ）= 100 ×（1 + 6 %）×（ P / A ，6 %，5）= 106× 4.212 4 = 446.51（万元）即企业现在应该存入基金 446.51 万元。

在后面学习投资方案比较时要注意的是，即使各方案均采用相同的计算期和名义利率，只要它们的计息期不同则彼此也不可比，而应该先将名义利率化为实际利率后再进行计算和比较。 3i6f8cn2NUmeqNMOSsN3ByDDQPfteqVGBcQJAv8BOHBeZRBz2TpmVYepsHl6IV1o