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为了研究经典集合理论和模糊集合理论之间的关系，有必要将经典集合理论的概念扩展到模糊集合理论。扎德提出的扩张原理（extension principle），是将非模糊数学概念扩展为模糊数学概念的基本思想之一。
扎德的扩张原理，顾名思义，是将经典集合理论的典型运算推广到模糊集合理论的一种方法。它提供了计算模糊集元素隶属度的一种框架，另外也是计算生成模糊集的一种方法，或者说是生成获得模糊集函数的方法。
设函数f是一个从X→Y的映射，扩张原理阐明了将函数f作用于X的模糊子集时，如何计算X的图像。我们期望这个图像是Y的模糊子集。
定义3.1（扩张原理） 设f是从X→Y的映射，设A是X的模糊子集。对f的扎德扩张是函数f作用于A，给出Y的模糊子集F（A），其隶属度函数是
其中将F称为由f诱导出的扩张函数，简称诱导函数，f -1 （y）={x：f（x）=y}是y的原像，如图3.1所示。
图3.1 模糊集的扩张原理
注意，如果f是双射函数，那么
{x：f（x）=y}={f -1 （y）}
其中f -1 表示f的逆函数。因此，如果A是X的模糊子集，其隶属度函数为μ A ，同时f是双射，则F（A）的隶属度函数是
如何构造f的扩张F图？如图3.1所示，其中运用了双射函数f。
特别地，如果f是单射函数，则y=f（x）属于模糊子集F（A），其隶属度与x属于A的隶属度相同。如果f不是单射函数，那么这种情况可能就不会发生。
设f：X→Y是单射函数，A是X的有限模糊子集或可数模糊子集，并由下式给出
利用扩张原理可确定F（A）是Y的模糊子集，这由下式得出
因此经由F可以得出A的像，就是通过f得到x i 的像。注意，y i =f（x i ）在F（A）中的隶属度与x i 在A中的隶属度是相同的。
例3.1 设A是具有可数支集的模糊集，设f（x）=x 2 且x≥0，由扩张原理可以得出
注意，扩张原理是将函数的模糊集概念扩张应用于X的经典子集。下面给出这方面的说明。实际上，设f是从X→Z的函数，A是X的经典子集，A的隶属度函数是它的特征函数。
利用扩张原理，经由f作用于A（A是X的子集）诱导出F（A），它是特征函数：对于所有z
很明显，模糊集F（A）的隶属度函数就是明确f（A）的特征函数，即模糊集F（A）与经典集f（A）重合：
F（x）=f（A）={f（a）：a∈A}
由上式可以看出，当A是经典集合时，F（A）像是清晰的，即每个f（a）都属于f（A），隶属度为1，因此无需式（3.1），如图3.2所示。
图3.2 经典集合的扩张原理
注意，如果A是经典集合，那么对于所有α∈[0，1]，A[α]=A。因此
回顾，对于α=0，这表示A[0]是A的闭集，也就是说，如果X是拓扑空间，那么最小的闭集A[0]是包含A支集的最小闭集。这个结果也可以应用到X的模糊子集上，这里称之为定理3.1。
定理3.1 设f：X→Y是连续函数，A是X的模糊子集，对于所有α∈[0，1]，有如下等式
这个结果表明，用扩张原理得到的模糊集的α截集与用明确函数得到的α截集的图像是一致的，证明此定理将运用Weierstrass定理，参看[52]。
例3.2
设A是实数
中的模糊集，其隶属度函数为
A的α截集是如下区间
现在考虑当x≥0时，实函数f（x）=x 2 ，由于f是递增函数，所以有
图3.3给出了模糊子集F（A）的隶属度函数。
下面阐述二元变量函数的扩张原理。
定义3.2 设f：X×Y→Z是二元变量函数，A和B分别是X和Y的模糊子集，将f的扩张函数应用于模糊子集A和B，则得到下面的模糊集
图3.3 模糊子集F（A）的隶属度函数
其中f -1 ={（x，y）：f（x，y）=z}。
例3.3
设f：
是二元变量函数，f（x，y）=x+y。考察
的有限模糊子集A，B，其中A，B定义如下：
计算z=10位于F（A，B）中的隶属度
实际上，扩张原理可进一步推广到n元变量函数，具体如下。
定义3.3 设f是从X 1 ×X 2 ×…×X n →V的n元变量函数，设A 1 ，A 2 ，…，A n 分别是X 1 ，X 2 ，…，X n 的模糊子集，将扩张原理作用于模糊子集A 1 ，A 2 ，…，A n ，则得到下面的模糊集
