1.2 概述：总体、个体、样本及统计推断

如何研究随机现象的统计规律性并为科学决策提供有效的依据,是“概率论与数理统计”课程需要解决的核心问题.先看一个有关管理人员年薪的具体案例.

例 1.2.1 某部门负责人将为公司制订一份简报,内容包括 2018 年中层管理人员的年龄和年薪分布情况.该负责人可调取原始数据,获得 2 500 名中层管理人员的年龄和年薪作为研究总体,并进一步分析年龄和年薪分布的总体特征.但是在实际情况下,可能因为个人隐私、节约成本和时间等现状,无法获得 2 500 名中层管理人员的年龄和年薪.这时,该负责人需要考虑的是,随机抽取一部分中层管理人员的年龄和年薪构成研究样本,并以此推测出所有中层管理人员年龄和年薪分布的统计规律.假定随机选择 30 名中层管理人员的年龄(单位:岁)和年薪(单位:万元)构成研究样本,见表 1.2.在此基础上分析年龄和年薪的分布特征并编写简报,显然比分析 2 500 名人员的年龄和年薪要节约时间和成本.

思考以下问题:

①30 个样本数据的图形和数字特征如何?(描述统计问题,见第 1 章)

②是否可以用这 30 名中层管理人员的年薪数据来推测 2 500 名中层管理人员年薪的分布特征?需要怎样的前提假设?(抽样问题,见第 5 章)

③如何用 30 名中层管理人员的年薪来推测所有中层管理人员的平均年薪?精确度如何计算?(参数估计问题,见第 6 章)

④如果上一年度所有中层管理人员的平均年薪是 10.5 万元,能否认为本年度的平均年薪超过上一年度的平均年薪?作此推论有多大把握?(假设检验问题,见第 7 章)

⑤年薪和年龄之间是否具有某种相依关系?(回归分析问题,见第 8 章)

在上述问题中,如果只研究年薪(或年龄)问题,每名中层管理人员的年薪(或年龄)是研究个体,2 500 名中层管理人员的年薪(或年龄)是研究总体,随机抽取的 30 名中层管理人员的年薪(或年龄)是研究样本,每名管理人员的具体年薪(或年龄)称为样本值,30 个样本值构成样本数据集.如果要研究年龄和年薪之间的关系,则每名中层管理人员的年龄和年薪是研究个体,2 500 名中层管理人员的年龄和年薪是研究总体,随机抽取的 30 名中层管理人员的年龄和年薪是研究样本.

将研究对象全部元素构成的集合称为 总体 ,组成总体的每个元素称为 个体 .总体中所含个体的个数,称为总体的 容量 ,它可以有限个、无限可列个或无限不可列个.为了研究推断总体的统计规律性,我们经常从总体中抽取一个子集,称为 样本 .每一个样本的测量值称为 样 本值 ,所有样本值构成样本数据集.

如何有效地收集、整理样本数据,并对样本数据分析研究,从而推断出总体的性质、特点和统计规律性,这就是统计分析的目的.比如,为了估计某顾客群体的平均年龄,只需要收集部分顾客的年龄信息,得到平均年龄的估计值后,就可以针对这个年龄层的顾客投放广告.

统计分析涉及两个不同的阶段:①描述统计,即利用所得到的数据绘制统计图(直观粗略地反映研究对象的规律),并计算数字特征值(反映数据的集中趋势和分散程度等).②推断统计,即根据样本信息对研究总体进行推断,包括推断研究对象的分布规律、不同因素间的相关性、多个因素间的统计关系等.

推断统计主要建立在研究不确定性现象的理论——概率论的基础上.概率论是统计分析的理论基础,而且在金融、保险、会计等领域有着广泛的应用.

基于上述分析,本书的基本知识结构如图 1.1 所示.第 1 章简单介绍描述统计学,第 2—4 章学习概率论的基本理论,第 5—8 章在概率论的基础上学习推断统计学.