习题

1.写出下述各随机试验的样本空间S:

(1)同时掷两颗质地均匀的骰子,确定两骰子的点数之和.

(2)袋中有 5 白球、3 黑球、4 红球,从中任取一球,确定球的颜色.

(3)在某时间段内,购物中心收到某商品求购电话的次数.

(4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如果连续查出两个次品就停止检查,或检查 4 个产品就停止检查.记录检查的结果(为便于描述,查出合格品记为“1”,查出次品记为“0”).

2.设某公司参加竞标, A = {第一次竞标成功}, B = {第二次竞标成功},求以下竞标结果的具体表示:

C = {两次竞标成功}, D = {两次竞标失败}, E = {只有一次竞标成功}, F = {至少一次竞标成功}, G = {第一次失败且第二次成功}.

3.已知 P ( A ) = 0.4, P ( B ) = 0.25, P ( A - B ) = 0.25,求:

4.设 A 和 B 是两事件且 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7.问:

(1)在什么条件下 P ( AB )取到最大值,最大值是多少?

(2)在什么条件下 P ( AB )取到最小值,最小值是多少?

5 . P ( A ) = P ( B ) = P ( C ) = 1 /4, P ( AB ) = P ( BC ) = 0, P ( AC ) = 3 /16.

(1)求事件 A , B , C 至少发生其一的概率.

(2)求事件 A , B , C 都不发生的概率.

6.这学期末 Alice 即将大学毕业.经过两家公司面试后,她估计 A 公司给她工作机会的概率为 0.8, B 公司给她工作机会的概率为 0.6,两家公司都给她工作机会的概率为 0.5.那么她在这两家公司中至少获得一个工作机会的概率是多少?

7.某人有资金投资 4 个风险项目中的两个,每个项目大约需要投入相同的资金.这 4 个项目中有两个会成功,两个会失败,但是具体哪两个并不知道.如果随机选择两个风险项目,则选到一个成功项目、至少选到一个成功项目、两个项目都将失败的概率分别是多少?

8.在彩票游戏中,有一种选“6”的彩票,即从一系列数(1 ~ N )中选取 6 个数字,这个 N 取决于发行彩票的城市.某城市设定 N 为 53,买一张彩票的价钱是 2 元,如果你选择的 6 个数字和中奖数字一致,将获得的回报是 1 000 万元人民币.求选“6”彩票中奖的概率是多少?

9.为提高选“6”彩票的中奖率,某“彩票专家”推荐了用于增加中奖概率的“滚动下注法”,即选择的数字要多于 6.例如,首先选择 7 个数字,然后从 7 个数字中选择 6 个数字得到7 组不同的组合数,用这些组合数进行滚动下注.求滚动下注中奖的概率是多少?

10.房间里有10 个人,分别佩戴着从1 号到10 号的纪念章,任意选3 个人记录其纪念章的号码.

(1)求最小的号码为 5 的概率.

(2)求最大的号码为 5 的概率.

11.从 5 双不同鞋子中任取 4 只,4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?

12.王同学和李同学约定某日下午 1:00—2:00 在校图书馆会面,约定先到的人在等待20 min 后离开,求他们能够会面的概率.

13.假定制造商为某种型号的计算机电缆设定的长度规格为 2 000 mm ± 10 mm. 该行业内,众所周知的是,尺寸偏小的电缆和尺寸偏大的电缆一样,如果达不到规格要求都属于次品.由于随机性,生产出来的电缆长度超过 2 010 mm 的概率等于长度不足 1 990 mm 的概率.已知生产流中能达到规格要求的概率为 0.99.求:

(1)随机抽到一根尺寸偏大的电缆的概率是多少?

(2)随机抽到一根尺寸超过 1 990 mm 的电缆的概率是多少?

14.假设某配件分别由 4 个厂商提供.随机抽取一个,观察由哪个厂商提供,是否合格.生产部根据相对频率法获得概率值(表 2.6),计算以下事件的概率:

(1)产品不是 1 号车间的概率.

(2)产品来自 1 号和 2 号车间的概率.

(3)产品来自 1 号车间而且是合格品的概率?

(4)产品是不合格品的概率?

(5)产品来自 1 号车间的条件下是不合格品的概率?

(6)产品来自 2 号车间的条件下是不合格品的概率?

15.某航班准点起飞的概率为 0.83,准点降落的概率为 0.8,准点起降的概率为 0.78.

(1)求准点起飞的航班准点到达的概率.

(2)求准点到达的航班准点起飞的概率.

16.考察某地区历史资料知,从某次特大洪水发生以后在 30 年内发生特大洪水的概率为 80%,在 40 年内发生特大洪水的概率为 85%,现已知该地区 30 年未发生特大洪水,问未来 10 年内将发生特大洪水的概率是多少?

17.某酒店为了针对入住酒店的商务旅客提高服务质量,对打高尔夫球的企业经理进行了一项研究.研究表明,55%的经理承认他们在打高尔夫球时作弊.此外,20%的经理承认他们曾经在打高尔夫球时作弊并且在洽谈业务时说谎.若已知某经理在打高尔夫球时作了弊,那么他在洽谈业务时说过谎的概率是多少?

18.某福利机构雇用了 10 名员工负责分发半价食物券.机构主管周期性地随机选择两名员工的记录来核实他们是否有违规行为.事实上,有 3 名员工经常有违规行为,但是主管并不知道.试求被抽到的员工有违规行为的概率.

19.某款发动机由甲、乙、丙 3 条生产线生产,各自次品率分别为 1%,0.5%,0.4%.假设甲、乙、丙 3 条生产线的产品分别占总产量的 25%,35%,40%.问:

(1)所有发动机的次品率为多少?

(2)假如质检时查到了有次品,该如何判断出到底来自哪一条生产线,或者哪一条生产线上的可能性最大?

20.据以往资料表明,某 3 口之家,患某种传染病的概率有以下规律: P ( A ) = P {孩子得病} = 0.6, P ( B | A ) = P {母亲得病孩子得病} = 0.5, P ( C AB ) = P {父亲得病母亲及孩子得病} = 0.4.求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率.

21.设有一台机床,在正常运行时产品的合格率为 90%,在非正常时产品的合格率为30%.由历史数据显示:每天上班开动机床时,机床是正常运行的概率为 75%.检验人员为了检验机床是否正常,开动机床生产出了一件产品,经检验,该产品为合格品,问此时机床处于正常状态的概率是多少?

22.某款轮胎做质量检测.第 1 年没有破的概率为 0.9,若第 1 年没有破第 2 年破的概率为 0.2,若前两年没有破但是第3 年破的概率为0.3,试求轮胎两年没有破的概率及3 年没有破的概率.

23.一种自动的监控系统应用了高科技的影像设备和微处理技术来探测入侵者.定型的系统已经被研制出来并在兵工厂的周围投入使用.这个系统能探测到 95%的入侵者,但是系统的设计师认为这个概率随着天气的变化而改变.这个系统能够自动记录每次入侵者被探测到时的天气状况.基于一系列对照试验,即入侵者在不同的天气状况下入侵工厂,获得以下信息:已知在系统探测到入侵者的情况下,75%是晴天,20%是多云,5%是有雨.当系统未能探测到入侵者时,60%是晴天,30%是多云,10%是有雨.求在已知天气的情况下,探测到入侵者的概率(假定工厂有入侵者).

24.某小镇只有 1 辆消防车和 1 辆救护车以备急需时使用.在出现消防警报时,消防车能够到位的概率为 0.98;在呼叫救护时,救护车能够到位的概率为 0.92.在发生火灾并引起伤亡的事故中,求消防车和救护车能够同时到位的概率,假定两者独立.

25.设 A 和 B 相互独立,若 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7,求 P ( A - B )和 P ( A ∪ B ).

26.假设单次试验的成功率为p (0 < p < 1),将此试验独立重复试验 3 次,试分别求其中仅失败一次以及至少失败一次的概率.

27.已知 P ( A ) = 0.2, P ( B ) = 0.3,在下列假设下,求 A 和 B 至少有一个事件发生的概率.

(1)如果 A 和 B 互不相容.

(2)如果 A 和 B 相互独立.

28.设高射炮每次击中飞机的概率为 0.2,问至少需要多少门这种高射炮同时独立发射(每门射一次)才能使击中飞机的概率达到 95%以上?

29.设有 n 个车主向保险公司购买涉水险(保险期为一年),假定投保人在一年内发生意外的概率为 0.000 2.

(1)求保险公司赔付的概率.

(2)当 n 为多大时,使得以上赔付的概率超过 1 /3?

30.设某轮胎生产线上的产品次品率为 0.02(假设以下抽样结果相互独立).

(1)若随机抽取了 10 个轮胎,问抽到次品的概率是多少?

(2)若随机抽取了 n 个轮胎,问抽到次品的概率是多少?

31 . A , B , C 三人在同一办公室工作,房间有三部电话,据统计知,打给 A , B , C 的电话的概率分别为 2 /5,2 /5,1 /5.他们三人常因工作外出, A , B , C 三人外出的概率分别为 1 /2,1 /2,1 /4,设三人的行动相互独立.

(1)求无人接电话的概率.

(2)求被呼叫人在办公室的概率.

(3)若某一时间段打进了 3 个电话,求这 3 个电话打给同一人的概率以及打给不同人的概率.