本章小结

本章知识结构图如下:

本章主要内容如下:

为研究随机现象的统计规律性,我们做随机试验,并把随机试验中所有试验结果组成的集合S称为样本空间,S的子集称为随机事件.由于事件是一个集合,所以事件之间的关系和运算可以用集合间的关系和运算来处理.集合间的关系和运算是读者熟悉的,重要的是要知道它们在概率论中的含义.

我们不仅要明确一个试验中可能会发生哪些事件,更重要的是知道这些事件在一次试验中发生的可能性大小.事件发生的频率的稳定性表明刻画事件发生可能性大小的数——概率是客观存在的.我们从频率的稳定性和频率的性质得到启发,给出了概率的公理化定义,并由此得到概率的一些基本性质.

古典概型是满足只有有限个基本事件且每个基本事件发生的可能性相等的概率模型.计算古典概型中事件 A 的概率,关键是弄清试验的基本事件的具体含义.计算基本事件总数和事件 A 中包含的基本事件数的方法灵活多样,没有固定模式,一般可利用排列、组合等知识计算.将古典概型中只有有限个基本事件推广到有无穷个基本事件的情况,并保留等可能性的条件,就得到几何概型.

条件概率定义为

计算条件概率 P ( A | B)通常有两种方法:一是按定义,先算出 P ( B )和 P ( AB ),再求出 P ( A | B);二是在缩减样本空间 S _B 中计算事件 A 的概率,即得到 P ( A | B).

由条件概率定义可得乘法公式

在解题中要注意P(A | B)和P(AB)之间的联系和区别.全概率公式

是概率论中最重要的公式之一。由全概率公式和条件概率定义得到贝叶斯公式

若把全概率公式中的 B 视作“果”,而把 S 的每一划分 A _i 视作“因”,则全概率公式反映“由因求果”的概率问题, P ( A _i )是根据以往信息和经验得到,称为先验概率.而贝叶斯公式则是“执果溯因”的概率问题,即在“结果” B 已发生的条件下寻找 B 发生的“原因”,公式中 P ( A _{i B} )是得到“结果” B 后求出,称为后验概率.

独立性是概率论中一个非常重要的概念,很多内容都是在独立性的前提下讨论的.若事件 A ₁ 和 A ₂ 满足

则称事件 A ₁ 和 A ₂ 相互独立。在实际应用中，还经常遇到多个事件之间的相互独立性问题，而且我们常常根据问题的实际意义——任意一个事件的发生不影响另一事件的发生来判断，如产品的抽样问题。就解题而言，独立性有助于简化概率计算。若事件 A ₁ , A ₂ ,…, A _n ( n ≥ 2)相互独立，有 uJHwLkU553yQx3zbVzcQVusdLyisS2aNtReE3+EnLzVQbiFD4IbsfiUM0VWlpDZD