2.4 随机事件的相互独立性

独立性是概率统计中的一个重要概念.

例 2.4.1 某公司有员工 100 名,其中 35 岁以下的青年人 40 名.该公司每天在所有员工中随机选出一人为当天的值班员,而无论其是否在前一天刚好值过班.

(1)已知第一天选出的是青年人,试求第二天选出青年人的概率.

(2)求第二天选出青年人的概率.

解 (1)以事件 A ₁ , A ₂ 分别表示第一天、第二天选出的是青年人,则

已知第一天选出是青年人,第二天选出青年人的概率为 0.4.

第二天选出青年人的概率为 0.4.

这里 P ( A ₂ A ₁ ) = P ( A ₂ ),即事件 A ₁ 对事件 A ₂ 发生的概率没有影响.

设 A ₁ , A ₂ 为两个事件,若 P ( A ₁ ) > 0,可定义 P ( A ₂ A ₁ ).一般情形下, P ( A ₂ )≠ P ( A ₂ A ₁ ),即事件 A ₁ 的发生对事件 A ₂ 发生的概率有影响.在特殊情况下,一个事件的发生对另一个事件发生的概率没有影响,如例2.4.1,此时乘法公式 P ( A ₁ A ₂ ) = P ( A ₁ ) P ( A ₂ A ₁ ) = P ( A ₁ ) P ( A ₂ ).

定义 2.4.1 若事件 A ₁ 和 A ₂ 满足

则称事件 A ₁ 和 A ₂ 相互独立.

例 2.4.2 在例 2.3.4 的消费者投诉调查问题中,事件 A ₁ = {保修期内产品被投诉},事件 B ₃ = {由于产品外观缺陷导致投诉},事件 A ₁ 和 B ₃ 是否相互独立?

解 用两种方法判断事件 A ₁ 和 B ³ 的相互独立性.

(1) P ( A ₁ ) = 0.63, P ( B ₃ ) = 0.35, P ( A ₁ B ₃ ) = 0.32.

P ( A ₁ B ₃ )≠ P ( A ₁ )( B ₃ ),事件 A ₁ 和 B ₃ 不相互独立.

(2)根据例 2.3.4 的计算结果, P ( B ₃ A ₁ )≈0.508 ≠ P ( B ₃ ),即事件 A ₁ 对事件 B ₃ 有影响,事件 A ₁ 和 B ₃ 不相互独立.

必然事件 S 和不可能事件⌀都与任意随机事件 A 相互独立.需要注意的是,互不相容与相互独立是两个完全不同的概念.两事件互不相容,在韦恩图上表示为不相交, P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B );两事件相互独立不易用图形表示.

若 P ( A ) > 0, P ( B ) > 0,如果事件 A 和 B 相互独立,有 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) > 0, AB ≠⌀,即事件 A 和 B 相容;反之,如果事件 A 和 B 互不相容,即 AB = ⌀,则 P ( AB ) = 0,而 P ( A ) P ( B ) > 0,则 P ( AB ) ≠ P ( A ) P ( B ),即事件 A 和 B 不相互独立.这就是说,当 P ( A ) > 0且 P ( B ) > 0 时,事件 A 和 B 相互独立与互不相容不能同时成立.

定理 2.4.1 若事件 A 和 B 相互独立,则下列各对事件也相互独立:

该定理还可叙述为:如果事件 A 与 B 相互独立,把其中任意一个或两个换为逆事件,其结果依然相互独立.

定理 2.4.2 若事件 A 和 B 相互独立,且 0 < P ( A ) < 1,则

该定理的正确性由乘法公式、相互独立性定义容易推出.

在实际应用中,还经常遇到多个事件之间的相互独立性问题.例如,对 3 个事件的独立性可作以下定义:

定义 2.4.2 设 A ₁ , A ₂ , A ₃ 是 3 个事件,如果满足等式

则称 A ₁ , A ₂ , A ₃ 为相互独立的事件.

这里要注意,若事件 A ₁ , A ₂ , A ₃ 仅满足定义中的前 3 个等式,则称 A ₁ , A ₂ , A ₃ 是两两相互独立的.由此可知, A ₁ , A ₂ , A ₃ 相互独立,则 A ₁ , A ₂ , A ₃ 是两两相互独立的,反之,则不一定成立.

定义 2.4.3 对 n 个事件 A ₁ , A ₂ ,…, A _n ,若以下 2 ^_n - n -1 个等式成立,

则称 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 是相互独立的事件.

由定义可知,事件的相互独立性具有以下性质:

①若事件 A ₁ , A ₂ ,…, A _n ( n ≥2)相互独立,则其中任意 k (2 ≤ k ≤ n )个事件也相互独立.

②若 n 个事件 A ₁ , A ₂ ,…, A _n ( n ≥2)相互独立,将 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 中任意多个事件换成它们的逆事件,所得的 n 个事件仍然相互独立.

在实际应用中,对事件的独立性,常常不是根据定义来判断,而是根据问题的实际意义——任意一个事件的发生不影响另一个事件的发生来判断,如产品的抽样问题.

例 2.4.3 ( 多样性训练 ) 《今日美国》杂志发现,在所有开展了多样性训练的美国企业中,有 38%的企业表示他们开展该训练的目的是保持竞争力.

(1)随机抽取一个包含两家企业的样本,求两家企业开展多样性训练的目的都是保持竞争力的概率是多少?

(2)随机抽取一个包含 10 家企业的样本,求 10 家企业开展多样性训练的目的都是保持竞争力的概率是多少?

(3)随机抽取一个包含 10 家企业的样本,求 10 家企业中至少有一家开展多样性训练的目的是保持竞争力的概率是多少?

解 A _i = {第i家企业开展多样性训练的目的是保持竞争力}.假设任何一家企业开展多样性训练的原因都不大可能影响另一家企业,即 A _i 相互独立.

(1) P ( A ₁ ∩ A ₂ ) = P ( A ₁ ) P ( A ₂ ) = 0.38 × 0.38 = 0.144.

(2) P ( A ₁ ∩ A ₂ ∩ …∩ A _n ) = P ( A ₁ )… P ( A ₁₀ ) = 0.38 ¹⁰ = 0.000 062 8.

这里概率值非常小,说明 10 家企业全部出于保持竞争力的目的开展多样性训练几乎是不可能的.如果 10 家企业都认为开展多样性训练的目的是保持竞争力,则需要重新估计在计算中使用的 0.38,这种方法在统计推断中有重要应用.

例 2.4.4 ( 保险赔付 ) 设有 n 个车主向保险公司购买重大交通事故险(保险期为一年),假定投保人在一年内发生重大交通事故的概率为 0.000 1.

(1)求保险公司赔付的概率.

(2)当n为多大时,使得以上赔付的概率超过 1 /2.

解 (1)记事件 A _i = {第i个投保人出现意外}( i = 1,2,…, n ),由实际问题可假设事件 A _i 相互独立, B = {保险公司赔付} = .

当某事件的概率难以计算时,常计算它的逆事件的概率.

(2) P ( B ) ≥ 0.5,即 1 -0.999 9 _ⁿ ≥ 0.5,

当投保人数大于 6 932 人时,保险公司有大于一半的概率赔付.

综合上述两个例题,若 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 是相互独立的事件,求 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 中至少有一个事件发生的概率的方法如下:

特别地,如果 P ( A ₁ ) = … = P ( A _n ) = p ,则

当 n → ∞时,上述概率的极限值为 1,即小概率事件迟早是要发生的.试用这个性质,可分析俗语“常在河边走,哪有不湿鞋”中蕴含的道理. ddqUzo0s0D6uZ2XB0PzOvG3f0C0Qit8Wuyn2cmKeAnEhX9wC4gVK2dVlA681rJlQ