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为找到随机现象的统计规律性,人们对随机现象加以研究所进行的大量重复的观察或试验,统称为 试验 .其中最重要的是随机试验.
概率论中讨论具有以下特点的试验:
①(可重复性)可以在相同的条件下重复进行.
②(可知性)每次试验的可能结果不止一个,并且事先可以明确试验所有可能出现的结果.
③(不确定性)每次试验有且仅有一个结果发生,但在试验之前不能确定哪一个结果会出现.
具备上述 3 个特点的试验称为 随机试验 ( Random trial ),用 E 表示.
为分析随机试验结果的统计规律性,随机试验的所有结果用集合表示.随机试验 E 的所有结果组成的集合称为 样本空间 (Sample space),记为 S .样本空间的每一个元素,即 E 的每一个结果,称为 样本点 ,用字母 ω 表示.如果只有两个试验结果,一般用大写字母 H 和 T 表示.表 2.1 列举了一些随机试验及其样本空间的具体例子.
表 2.1
在随机试验中,有时只关心部分结果构成的集合,即样本空间 S 的子集.
定义 2.1.1 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的 随机事件 (Random event),简称 事件 ,通常用大写字母 A , B , C ,…表示.只含有一个结果构成的集合称为 基本事件 ,含有两个或两个以上结果构成的集合称为 复合事件 .
在表 2.1 掷骰子的随机试验 E 4 中,样本空间 S 4 = {1,2,3,4,5,6},奇数点集合 C 1 = {1,3,5},偶数点集合 C 2 = {2,4,6},即 C 1 由 3 个基本事件{1},{3}和{5}组成, C 2 由 3 个基本事件{2},{4}和{6}组成, C 1 和 C 2 是复合事件.需要注意的是,即使同一试验,试验目的不同导致样本空间也不同,相应事件是基本事件还是复合事件也会发生改变.同样在掷骰子试验中,如果只关心奇数点和偶数点,则样本空间 S = {奇数,偶数}, C 2 = {偶数}是基本事件.
在每次试验中,当且仅当某个事件中的一个样本点出现时,称这一事件发生.例如,在掷骰子试验中,试验结果“出现 6 点”,称事件 C 2 发生了.每次试验中都必然发生的事件,称为 必然事件 .样本空间 S 包含所有的样本点,它是 S 自身的子集,每次试验中都必然发生,它是一个必然事件,必然事件也用 S 表示.在每次试验中不可能发生的事件称为 不可能事件 .空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不可能发生,它是一个不可能事件.
例 2.1.1 ( 消费者的市场反馈 ) 2018 年,某公司研发的新款车型正式进入市场.市场部为了准确了解消费者的人群特征,针对购买该车型的前 10 000 名用户作问卷调查,包括年龄以及年薪两个方面.表 2.2 列出的是用年龄和年薪表示的消费者人数,因为该表用两个变量(年龄和年薪)来划分,所以被称为双向表.市场部将根据表中数据,分析消费者的年龄和年薪特征,从而制订出更好的营销战略.
表 2.2
在本案例中,为研究消费者的年龄和年收入,分别建立样本空间 S 1 = {<30 岁,30 ~50 岁,>50 岁}和 S 2 = { < 8 万元,8 万 ~ 15 万元, > 15 万元}.有关消费者年龄和年薪的双向表可用事件表示,见表 2.3.
表 2.3
由于事件是样本空间的子集,我们可以利用集合间的关系和运算来研究事件间的关系和运算,从而简化事件概率的计算.
如图 2.1 所示的韦恩图帮助我们对事件间的关系有一个直观认识,其中,方框表示样本空间 S ,两个圆分别表示事件 A 和事件 B. 下面通过“事件发生”的含义以及集合的关系和运算,讨论事件间的关系及运算.
图 2.1
(1)事件的和(或并)
“事件 A 与事件 B 至少有一个发生”的事件称为 A 与 B 的并(和),记为 A ∪ B. 在图 2.1中, A ∪ B 对应两个圆的叠加.由事件并的定义,可得
对任一事件 A ,有
表示“
n
个事件
A
1
,
A
2
,…,
A
n
至少有一个发生”这一事件.
表示“可列无穷多个事件
A
i
至少有一个发生”这一事件.
(2)事件的积(或交)
“事件 A 与事件 B 同时发生”的事件称为 A 与 B 的交(积),记为 A ∩ B (或 AB ).在图2.1 中, A ∩ B 对应两个圆的交集.由事件交的定义,可得
对任一事件 A ,有
表示“
n
个事件
A
1
,
A
2
,…,
A
n
同时发生”这一事件.
表示“可列无穷多个事件
A
i
同时发生”这一事件.
(3)事件的差
“事件 A 发生而事件 B 不发生”的事件称为 A 与 B 的差,记为 A - B. 在图 2.1 中, A - B 对应圆 A 减去 A ∩ B 以后剩下的部分.由事件差的定义,可得
对任一事件 A ,有 A - A = ⌀, A - ⌀ = A , A - S = ⌀.
例 2.1.2 考虑一个掷骰子试验,定义事件 A = {掷到奇数点}, B = {掷到的点数小于等于 3}.假定骰子是均匀的,描述试验中的 A ∪ B , A ∩ B 和 A - B.
解 A = {1,3,5}, B = {1,2,3}.
例 2.1.3 在表 2.3 中,事件 A 1 = {<30 岁}, B 3 = {>15 万元},分析 A 1 ∪ B 3 , A 1 ∩ B 3 , A 1 - B 3 和 B 3 - A 1 的具体含义.
解 A 1 ∪ B 3 = {年龄小于 30 岁或年薪高于 15 万元的消费者};
A 1 ∩ B 3 = {年龄小于 30 岁且年薪高于 15 万元的消费者};
A 1 - B 3 = {年龄小于 30 岁且年薪不高于 15 万元的消费者};
B 3 - A 1 = {年薪高于 15 万元且年龄不小于 30 岁的消费者}.
(4)事件的包含及相等
如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生,称事件 A 包含于事件 B (或事件 B 包含事件 A ),记为 A ⊂ B (或 B ⊃ A ),如图 2.2 所示.
图 2.2
A ⊂ B 的等价说法是,如果事件 B 不发生,则事件 A 必然不发生.
若 A ⊂ B 且 B ⊂ A ,则称事件 A 与 B 相等(或等价),记为 A = B.
为方便起见,规定对任一事件 A ,有⌀ ⊂ A. 显然, A ⊂ S.
(5)事件的互不相容(互斥)
如果两个事件 A 与 B 不可能同时发生,则称事件 A 与 B 互不相容(互斥),记为 A ∩ B = ⌀,如图 2.3 所示.
图 2.3
基本事件两两互不相容.在例 2.1.1 中,事件 A 1 , A 2 , A 3 两两互不相容,事件 B 1 , B 2 , B 3 两两互不相容.
(6)对立事件(逆事件)
若
A
∪
B =
S
且
A
∩
B =
⌀,则称事件
A
与
B
互为逆事件(对立事件).
A
的对立事件记为
是由所有不属于
A
的样本点组成的事件.显然
= S
- A
,如图 2.4 所示.由事件差的定义,结合图 2.1,可得:
图 2.4
在一次试验中,若
A
发生,则
必不发生(反之亦然),即在一次试验中,
A
与
两者只能发生其中之一,并且也必然发生其中之一.显然有
= A.
对立事件必为互不相容事件;反之,互不相容事件未必为对立事件.
在进行事件运算时,经常要用到下述定律.设 A , B , C 为事件,则有:
①(交换律) A ∪ B = B ∪ A , A ∩ B = B ∩ A.
②(结合律) A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C , A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C.
③(分配律) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ),
A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ).
④(德·摩根对偶律)
,
.
对有限个或无穷可列个事件的情形有
例
2.1.4
设事件
A
表示“甲种产品畅销,且乙种产品滞销”,求其对立事件
.
解 设 B = {甲种产品畅销}, C = {乙种产品滞销},则 A = B ∩ C ,有
例 2.1.5 ( 洗车店营业 ) 假如某洗车店共有 3 个车间,其中,1 号和 2 号车间负责冲水与清洗,3 号车间负责烘干吸尘. A i ( i = 1,2,3)分别表示 i 号车间正常营业.试用事件间的关系和运算分别表示事件 B = {洗车店正常营业}和事件 C = {洗车店必须歇业}.思考:如果清洗车间扩充到 3 个、吸尘车间扩充到 2 个甚至更多呢?
解 (1) B = {清洗和吸尘均正常营业} = {清洗正常营业}∩ {吸尘正常营业} = ( A 1 ∪ A 2 )∩ A 3 = ( A 1 ∩ A 3 )∪ ( A 2 ∩ A 3 ),
该结论表明,两条洗车流水线中只要有一条流水线正常营业,则洗车店正常营业.
该结论表明,两条洗车流水线均不能正常营业,则洗车店必须歇业.
事件 B 和 C 互为逆事件,也可用德·摩根对偶律求事件 C.
(2)如果清洗车间扩充到 3 个、吸尘车间扩充到 2 个, A i ( i = 1,2,3)分别表示 3 个清洗车间正常营业, A i ( i = 4,5)分别表示 2 个吸尘车间正常营业,则
