2.5 回转体的投影

回转体是由回转面或回转面和平面所围成的实体，机械零件中常见的回转体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。回转面是母线（直线、圆弧或其他曲线）绕一轴线（直线）作回转运动而形成的。回转面上任一位置的母线称为素线，母线上每一点运动轨迹都是圆，称为纬圆，纬圆所在的平面垂直于回转轴线。

回转面的形状取决于母线的形状，以及母线与轴线的相对位置。

2.5.1 圆柱

1）圆柱的投影

如图 2.61（a）所示，圆柱是由圆柱面和上、下两底面作为表面的立体。圆柱面可看作一直线绕着与它平行的轴线旋转而形成的。在这里，我们把母线在每一时刻的位置称为素线，因此，圆柱面又可看成是无数条平行于轴线的素线所围成。

如图 2.61（b）所示为一轴线垂直于水平投影面的正圆柱的三面投影。其投影特性为：圆柱的上、下两个底面为水平面，其水平投影反映实形（圆平面），正面投影和侧面投影积聚成直线；圆柱面垂直于H面，其水平投影也积聚为一圆。在正面和侧面投影上分别画出决定投影范围的转向轮廓线，如正面投影的转向轮廓线AC、BD的投影a′c′、b′d′，注意其侧面投影在相应的轴线（点画线）上，不需要画出；侧面投影的转向轮廓线EG、FI的投影e″g″、f ″i″，注意其正面投影在相应的轴线（点画线）上，不需要画出。

如图 2.61 所示，对于正面投影来说，转向轮廓线AC、BD为圆柱面可见与不可见的分界线，即前半圆柱面可见，后半圆柱面不可见；对于侧面投影，转向轮廓线EG、FI为圆柱面可见与不可见的分界线，即左半圆柱面可见，而右半圆柱面不可见；对于水平投影，上底面可见，下底面不可见，圆柱面的水平投影具有积聚性，一般不判别可见性。

回转面的转向轮廓线有以下性质和投影特点：

①转向轮廓线的投影确定了回转面投影的轮廓，它们在回转面上的位置取决于投射线的方向，是对某一投影面而言的。如AC和BD是正面的转向轮廓线，EG和FI是侧面的转向轮廓线。

②转向轮廓线是回转面上可见部分与不可见部分的分界线。当轴线平行于投影面时，转向轮廓线所决定的平面与相应投影面平行，并且是回转面的对称面。例如素线AC和BD与正面平行，它们所决定的平面将圆柱分成前后两部分。因此，对于母线和轴线处于同一平面内形成的回转面，转向轮廓线的投影反映母线的实形及母线与轴线的相对位置。

③圆柱转向轮廓线的三面投影应符合投影面垂直线的投影特性，其余两投影与轴线或圆的对称中心线重合，但不能画出。

画圆柱的三面投影图时，可首先画出圆柱体的轴线和圆的中心线，然后画出投影为圆的投影，最后根据圆柱的高度画出为矩形的另外两个投影图。

2）圆柱面上取点

在圆柱面上取点可以利用其投影的积聚性来作图。

【例 2.25】 如图 2.62（a）所示，已知圆柱面上A点的正面投影a′和B点的侧面投影b″，求A、B两点的另外两个投影。

解：由于a′可见，点A必在前半个圆柱面上。因点A在圆柱面上，其水平投影积聚在圆上，根据投影关系可求出A的水平投影a。根据“高平齐”和“宽相等”的投影规律可求出侧面投影a″，注意A点在右半个圆柱面上，侧面投影a″不可见。

根据B点侧面投影的位置，可以看出B点在圆柱的最左轮廓线上，根据点的投影规律可求出B点的正面投影b′和水平投影b，如图 2.62（b）所示。

2.5.2 圆锥

1）圆锥的投影

如图 2.63（a）所示，圆锥由圆锥面及底平面（圆）所围成。其中，圆锥面可以看成由一条与轴线相交的直线（母线）绕该轴线旋转而成。如上所述，圆锥面也可以看成是无数条直素线围成的，这些直素线一端与轴线汇交于一点（锥顶），另一端落在与轴线垂直的圆周上。

如图 2.63（b）所示为一轴线垂直于水平投影面的圆锥的三面投影图。其投影特性为：圆锥的底面平行于H面，其水平投影为圆，它的正面投影和侧面投影为一直线（a′b′、d″c″）；圆锥面的水平投影在圆内。在正面和侧面投影上分别画出决定其投影范围的转向轮廓线，如正面投影的转向轮廓线SA、SB的投影s′a′、s′b′，注意其水平投影和侧面投影的相对位置，不需要画出；侧面投影的转向轮廓线SC、SD的投影s″c″、s″d″，注意其水平投影和正面投影的相对位置，不需要画出。

与圆柱相似，对于正面投影来说，转向轮廓线SA、SB为圆锥面可见与不可见的分界线，即前半圆锥面可见，后半圆锥面不可见；对于侧面投影，转向轮廓线SC、SD为圆锥面可见与不可见的分界线，即左半圆锥面可见，而右半圆锥面不可见；对于水平投影来说，底面不可见，整个圆锥面都可见。对于圆锥面来说，其三面投影都没有积聚性。

画图时，可首先画出圆锥体的轴线和底圆的中心线，然后画出投影为圆的投影，最后根据圆锥的高度画出形为等腰三角形的另外两个投影图。

2）圆锥面上的点

圆锥面上取点的作图原理如图 2.64 所示。由于圆锥面的各个投影都不具有积聚性，因此，取点时必须借助于辅助素线或辅助圆（纬圆）。

（1）辅助素线法

在圆锥面上，先过已知点和锥顶可以作一条素线，再根据点在直线上的投影规律，完成圆锥面上取点的投影作图，该方法称为辅助素线法。

【例 2.26】 如图 2.65（a）所示，已知圆锥面上点A的水平投影a，求作其正面投影和侧面投影。

解：过锥顶S和点A作一辅助线SE，先在水平投影上过a确定SE的水平投影se，再求出其正面投影s′e′和侧面投影s″e″，最后根据直线上点的投影规律，作出a′和a″。注意判别A点的可见性，由水平投影可知，点A在圆锥面的前半部分和左半部分，故a′和a″都可见。

（2）辅助圆法

将所求之点看成圆锥面上某一纬圆上的点，利用该纬圆的各个投影，同样可以完成圆锥面上取点的投影作图，该方法称为辅助圆法，又称为纬圆法。辅助圆法非常重要，它是回转面上取点的常用方法。

【例 2.27】 如图 2.65（b）所示，已知圆锥面上点B的正面投影b′，求作其水平面投影和侧面投影。

解：由于圆锥的轴线垂直于H面，故过点B的辅助圆平行于H面，水平投影反映实形，仍为一个圆；正面投影和侧面投影积聚为直线。过b′作该辅助圆的正面投影，与最右轮廓线的正面投影交于f ′点；作出辅助圆的水平投影，注意该圆的半径为sf。根据点B在圆上以及点的投影规律，可求出B点的水平投影b及侧面投影b″。由b′可知，点B在圆锥面的前半部和右半部，故b可见而b″不可见。

2.5.3 圆球

1）圆球的形成及三视图

如图 2.66（a）所示，圆球由圆球面所围成。圆球面可以看成一个半圆绕其通过圆心的轴线（直径）旋转而成，而且球的轴线有无数条。

如图 2.66（b）所示为一圆球体的三面投影图，其投影特性为：圆球的三面投影都是圆，其直径等于球的直径，但三个投影面上的圆是不同的转向轮廓线的投影。水平投影上的圆是平行于H面的最大圆B的投影；正面投影上的圆是平行于V面的最大圆A的投影；侧面投影上的圆是平行于W面的最大圆C的投影。作图时可先确定球心的三个投影，然后画出中心线，再画出三个与球等直径的圆，即得球的三面投影图。

注意：球的三面投影都是圆，但这 3 个圆分属于球面上 3 个不同素线圆的投影。画圆时一定要画出中心线。对于正面投影来说，前半个球面可见，后半个球面不可见；对于水平投影，上半个球面可见，下半个球面不可见；对于侧面投影，左半个球面可见，右半个球面不可见。

2）球面上的点

在球面上取点，因为形成球面的母线是圆，因而在球面上没有直线可用来作为辅助线，故只能利用平行于某一投影面的辅助圆来进行作图。

【例 2.28】 如图 2.67（a）所示，已知球面上点C的水平投影c，求作其正面投影和侧面投影。

解：过C点在球面上可作一水平辅助圆，其水平投影是以oc为半径的圆，正面投影和侧面投影均为直线。由此即可求出c′和c″，其作图方法如图 2.67（b）所示。从水平投影c可以看出，C点位于右半球和后半球上，因此c′和c″都不可见。实际上，在球面上过C点也可以作正平圆或侧平圆，读者可自行分析。

2.5.4 圆环

1）圆环的形成及三视图

如图 2.68（a）所示，圆环体由圆环面所围成。圆环面则由一母线圆绕与该圆共面但不过圆心的轴线旋转而成。

如图 2.68（b）所示为一轴线垂直于水平投影面的圆环体的三面投影图，其投影特性为：

（1）水平投影

水平投影为一对同心圆，分别反映圆环内、外直径的真实大小。

（2）正面投影

正面投影是两个平行于V面的素线圆及内、外圆环面分界圆的投影（即上、下两条直线）。因为内圆环面不可见，所以素线圆靠近轴线的一半画为虚线。

（3）侧面投影

侧面投影是两个平行于W面的素线圆及内、外圆环面分界圆的投影（即上、下两条直线）。素线圆靠近轴线的一半画为虚线。

由图 2.68 可知，对于正面投影来说，外圆环面的前半部分可见，外圆环面的后半部分及内圆环面都不可见；对于侧面投影来说，外圆环面的左半部分可见，外圆环面的右半部分及内圆环面都不可见；对于水平投影来说，内、外圆环面的上半部分都可见，下半部分都不可见。

2）圆环面上取点

在圆环面上取点，因为圆环表面无直线可用来作为辅助线，只能利用垂直于回转轴线的辅助圆来求解。

【例 2.29】 如图 2.69（a）所示，已知圆环面上点D的正面投影d′，求该点的水平投影和侧面投影。

解：圆环面的轴线垂直于H面，因此可过D点在圆环面上作一水平辅助圆，该圆的正面投影和侧面投影积聚为直线，由此可作出水平投影d和侧面投影d″，其作图过程如图 2.69（b）所示。由于正面投影d′可见，判断D点位于外环面的下半部分、前半部分和左半部分，因此水平投影d不可见、侧面投影d″可见。

常见的不完整回转体见表 2.6。