2.3 点、线和面的投影

点是组成形体的最基本的几何元素，它是线、面、体的基础，因此研究点的投影规律是投影的基础。

2.3.1 点的投影

1）点在三面投影体系中的投影

点的投影仍为一个点，且空间点在一个投影面上只有唯一的投影。但当已知点在一个投影面上的一个投影时，还不能确定点在空间的唯一位置。

将点空间任一点A放在三投影面体系中用正投影法分别向三个投影面（V面、H面、W面）进行投射，得到A点在H面的水平投影，用a表示；A点在V面的正面投影，用a′表示；A点在W面的侧面投影，用a″表示 ，如图 2.8 所示。

由图 2.8 不难看出，点的三面投影具有下列投影规律：

①点的正面投影和水平投影的连线垂直于X轴；点的正面投影到Z轴的距离和点的水平投影到Y _H 轴的距离相等，都反映空间点的x坐标，即

②点的正面投影和侧面投影的连线垂直于Z轴；点的正面投影到X轴的距离和点的侧面投影到Y _W 轴的距离相等，都反映空间点的z坐标，即

③如图 2.8（c）所示，过a和a″分别作Y _H 和Y _W 的垂线，两垂线必定交于过原点O的 45°斜线上，点的水平投影到X轴的距离和点的侧面投影到Z轴的距离相等，都反映空间点的y坐标，即

点的投影规律表明了点的任一投影和其余两个投影之间的联系。

2）根据点的两个投影求第三投影

根据点的投影规律，在点的投影中，只要知道其中任意两个面的投影，就可以很方便地求出第三个投影。

【例 2.1】 如图 2.9（a）所示，已知点B的正面投影b′及侧面投影b″，试求其水平投影b。

解：①过b′向下作直线垂直于OX轴；过O点作 45°斜线，如图 2.9（b）所示。

②过b″向下作直线垂直于Y _W 轴并与 45°斜线相交，从交点作直线垂直于Y _H 轴且与b′bx的延长线的交点即为B点的水平投影b，如图 2.9（c）所示。

3）两点的相对位置

两点相对位置是指空间两点上下、左右、前后的位置关系。比较两点的X坐标，可判断两点的左右关系，X值大的点在左，X值小的点在右；比较两点的Y坐标，可判别两点的前后关系，Y值大的点在前，Y值小的点在后；比较两点的Z坐标，可判别两点的上下关系，Z值大的点在上，Z值小的点在下。

（1）一般情况

两点到三个投影面距离（坐标值）各不相等。如图 2.10 所示，A、B两点对应的x _B ＞x _A ，y _A ＞y _B ，z _{A ＞} z _B ，说明A点在B点的右、前、上方。

（2）特殊情况

①两点到一个投影面的距离相等。如图 2.11 所示，A、B两点对应的y _A ＝ y _B 且x _B ＞x _A ，z _A ＞z _B ，说明A点在B点的右、上方。

②两点到两个投影面的距离相等。如图 2.12 所示，A、C两点对应的x _A ＝ x _C ，z _A ＝ z _C 。只有y _A ＞y _C ，说明A点在C点的正前方。此时，A、C处于对V面的同一条投射线上，这两点在该投影面上的投影重合为一点，这两点称为重影点。点A把点C挡住，点A可见，点C不可见，不可见点的投影用加括号的方式表示，如（c′）。某投影面上重影点投影的可见性，可用不相等的那个坐标值来判定，即坐标值大的点可见。

4）无轴投影图

空间点的位置可以用绝对坐标来确定，也可以用相对于另一点的坐标来确定。不画投影轴的投影图，称为无轴投影图。无轴投影图就是根据相对坐标来绘制的。“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律，实质上就是无轴投影图中反映两点相对坐标的通俗说法，这个投影规律是以点的投影规律为基础的。

【例 2.2】 在无轴投影图中，已知点A的三面投影和点B的正投影b′及侧面投影b″，求其水平投影b，如图 2.13（a）所示。

解：根据点的投影规律，点b位于过b′的竖直线上。为了从侧面投影上将Δy值转移到水平投影上，可以利用 45°斜线。具体有以下两种方法。

方法一：

①作 45°斜线［图 2.13（b）］：过a作a′a″的平行线，过a″作a′a的平行线，使之相交，再过这两条平行线的交点画 45°斜线。由此可见，一个点的水平投影和侧面投影一经确定，45°斜线也就随之确定，不能乱画。

②作出点b［图 2.13（c）］：过b″向下作竖直线与 45°斜线相交，并从交点作b′b″的平行线，与过b′的竖直线的交点即为水平投影b。

方法二：［图 2.13（d）］。过b′向下作竖直线，根据投影规律将侧面投影上A、B两点的Δy值移至水平投影上，即可得到b点。在量取Δy时，要注意A、B两点前后关系在水平投影和侧面投影必须相互对应（B点在A点的前面）。

2.3.2 直线的投影

直线由两点确定，直线的投影可由该线上两点的投影确定。如已知直线上两点的投影，将两点的同名投影用直线（粗实线）连接，就得到该直线的同名投影。如图 2.14（a）所示，已知两点A（x _A ，y _A ，z _A ）和B（x _B ，y _B ，z _B ）的空间位置，可首先绘出两点的三面投影，然后将两点的同面投影相连，即可得直线的三面投影，如图 2.14（b）所示。由此可知：在一般情况下，直线的投影仍是直线（类似性）。当直线上两点为某一投影面上的重影点时，直线垂直于该投影面，直线在该投影面上会积聚为一点（积聚性）。

根据直线在三投影面体系中的位置，可将直线分为投影面垂直线、投影面平行线和一般位置直线三类，前两类直线称为特殊位置直线。

1）各种位置直线的投影特征

（1）投影面平行线

只平行于某一个投影面而与另外两个投影面倾斜的直线，称为投影面平行线。其中，平行于水平面（H面）的直线，称为水平线；平行于正投影面（V面）的直线，称为正平线；平行于侧面（W面）的直线，称为侧平线。

图 2.15 所示为正平线AB的三面投影。由于直线AB与V面平行，即直线上所有点的y坐标值相同，由此可以得出正平线的投影特点：

①正面投影a′b′为倾斜线段，反映直线AB的实长，它与OX轴的夹角反映直线对H面的倾角α，与OZ轴的夹角反映直线对W面的倾角γ。

②水平投影ab平行于OX轴，侧面投影a″b″平行于OZ轴，且均小于实长。ab＝AB cosα，a″b″＝AB cos γ。

各种投影面平行线的投影特性见表 2.1。

投影面平行线的投影特性可归结为以下两点：

①在与直线平行的投影面上，其投影倾斜于投影轴，反映实长，且该投影与相邻投影轴的夹角反映该直线对另外两个投影面的倾角大小。

②在另外两个投影面上，其投影较实长缩短，且分别平行于相应的投影轴。

（2）投影面垂直线

垂直于某一个投影面即与另外两个投影面都平行的直线称为投影面垂直线。垂直于水平投影面（H面）的直线，称为铅垂线；垂直于正面（V面）的直线，称为正垂线；垂直于侧面（W面）的直线，称为侧垂线。

图 2.16 表示正垂线AB的三面投影。AB垂直于V面，则必然平行于H面和W面，因此线上各点的x坐标相同，z坐标也相同，正垂线AB的投影特性是：

①正面投影a′b′重影为一点，具有积聚性；

②水平投影ab垂直于OX轴，侧面投影a″b″垂直于OZ轴，且它们都反映实长。

各种投影面垂直线的投影特性见表 2.2。

投影面垂直线的投影特性可归结为以下两点：

①在与直线垂直的投影面上，直线的投影积聚为一点。

②其余两面投影分别垂直于相应的投影轴，且都反映实长。

（3）一般位置直线

与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。如图 2.17 所示，若一般位置直线AB对H面的倾角为α，对V面的倾角为β，对W面的倾角为γ，则直线的实长、投影长度和倾角之间的关系为：ab ＝ABcos α，a′b′＝ABcos β，a″b″＝ABcos γ，因此直线的三面投影都小于其实长。一般位置直线具有下述投影特性：

①三面投影都倾斜于投影轴，都小于实长。

②三面投影与投影轴的夹角都不反映直线对投影面的真实倾角。

2）直线上点的投影

由于直线的投影是直线上所有点的投影的集合，所以属于直线上的点的各投影必在该直线的同面投影上，且点分线段长度之比等于点的投影分线段的同面投影长度之比，反之也成立。如图 2.18 所示，直线AB上的任一点K有以下投影特性：

①直线上点的投影必定在该直线的同面投影上。例如点K的投影k、k′、k″分别在直线AB的投影ab、a′b′、a″b″上。

②同一直线上两线段实长之比等于其投影长度之比，即点分线段成比例。因此，在图 2.18中有AK∶KB＝ ak ∶ kb ＝ a′k′∶ k′b′＝ a″k″∶ k″b″。

由此可知：如果点在已知直线上，则可根据该点的一面投影（投影面垂直线有积聚性的投影除外）求出其另外两面投影。

【例 2.3】 如图 2.19（a）所示，已知侧平线DE的面两投影和该直线上点K的正面投影k′，求其水平投影k。

解：由于DE是侧平线，因此不能由正面投影k′直接在de上求出水平投影k，但根据点在直线上的投影特性，侧面投影k″必定在d″e″上，再由点的投影规律求出水平投影k。具体作图过程如下［图 2.19（b）］：

①作出直线DE的侧面投影d″e″，并求出点K的侧面投影k″。

②根据点的投影规律，由k′、k″求出水平投影k。

还可以根据定比性求解，请自行分析。

【例 2.4】 如图 2.20（a）所示，已知直线AB的两面投影，点K是直线AB上的一点，且AK∶KB＝ 1 ∶ 2，求点K的两面投影。

解：①以点a′为端点作一条射线，并在其上从点a′开始量取 3 段相等的长度，使a′n′∶n′m′＝ 1 ∶ 2。

②连接m′b′，并过点n′作m′b′的平行线，交a′b′于点k′。

③根据点K在直线AB上，由点k′向下作竖直线与ab相交于点k，k和k′即为点K的两面投影，如图 2.20（b）所示。

3）两直线的相对位置

空间两直线的相对位置有三种情况：即两直线平行（图 2.21 中的AB和CD）、两直线相交（图 2.21 中的DE和CD）和两直线交叉（图 2.21 中的DE和FG）。前两种情况的两直线位于同一平面上，故称为同面直线；后一种情况的两直线不在同一平面上，故称为异面直线。下面将分别讨论三种位置直线的投影特性。

（1）两直线平行

空间两直线平行，则其同面投影一般也相互平行，特殊情况下重合为一条直线或积聚成两个点。如图 2.22 所示，由于AB∥CD，其所有的同面投影也彼此平行，即ab∥cd，a′b′∥c′d′，a″b″∥ c″d″。

反之，如果两直线在投影图上的各组同面投影都互相平行，则两直线在空间必定相互平行。

（2）两直线相交

空间两直线相交，其所有同面投影一般也相交，且各同面投影的交点之间的关系应符合点的投影规律，即两直线各组同面投影的交点为两相交直线交点的各个投影。特殊情况下，相交两直线的投影为一条直线。如图 2.23（a）所示，直线AB与CD相交，交点为K，则ab与cd，a′b′与c′d′，a″b″与c″d″必定分别相交于k、k′、k″，且符合交点K的投影规律。

图 2.23（a）所示的两条直线的三面投影都相交，且交点符合点的投影规律，所以两直线相交。图 2.23（b）所示的两直线（其中AB为侧平线）的各同面投影都各自相交，但各面投影的交点不是同一点的投影，所以两直线不相交。

（3）两直线交叉

空间既不平行也不相交的两直线为交叉直线。交叉两直线的同面投影一般都相交，但各同面投影交点之间的关系不符合点的投影规律。特殊情况下可能有一个或两个同面投影平行，也可能投影为一点和一直线。

如图 2.24（a）所示，两直线AB和CD的水平投影ab∥cd，但正面投影a′b′与c′d′不平行，因此两直线不平行，而是交叉。如图 2.24（b）所示，交叉两直线的各组投影都是相交的，但其投影交点不符合同一点的投影规律。ab与cd的交点实际上是直线AB上的K点和CD上的G点在H面上的投影重合为一点，即为对H面的重影点的投影g（k），由于点G在点H的上面，所以g可见，k不可见。同理，a′b′与c′d′的交点是直线AB上的E点和CD上的F点在V面的投影重合e′（f ′），由于点E在点F的前面，所以e′可见，f ′不可见。

【例 2.5】 作直线KL，使之与已知直线AB、CD都相交，并与已知直线EF平行，如图2.25（a）所示。

解：①由图 2.25（a）可知，直线CD是铅垂线。设直线KL与CD相交于L点，L的水平投影l应与c（d）重合。又因KL∥EF，所以过l点作直线kl，使kl∥ef并与ab交于k。

②根据点K在直线AB上的投影特性，从k点作OX轴的垂线，它与a′b′相交交点即为k′。

③根据KL∥EF和点L在直线CD上的投影特性，过点k′作e′f′的平行线，它与c′d′相交交点即为l′，如图 2.25（b）所示。

【例 2.6】 判定已知直线AB，CD，AE两两之间的相对位置，如图 2.26（a）所示。

解：从图中直接观察可知，AB与AE相交，因为它们有公共点A。对于AB与CD两直线，由于它们均为侧平线，虽然其正面投影和水平投影均分别平行，但不能凭观察直接定出。判别方法有两种，一种方法是作出它们的侧面投影，另一种方法是检查A，B，C，D四点是否共面。即分别连接AC与BD的正面投影和水平投影，使它们形成AC与BD两条直线。由AC与BD两直线不共面，即可推断出A，B，C，D四点不共面，所以AB与CD为两交叉直线，如图2.26（b）所示。而AE与CD是一对交叉直线，其判别方法可用图 2.26（c）所示的等比性定理，读者可自行分析判断。

2.3.3 平面的投影

1）平面的表示法

平面是物体表面的重要组成部分，平面有多种表示形式，其投影也各不相同。平面的空间位置可用以下几种方法确定：

①不在同一直线上的三个点；

②一直线和直线外的一个点；

③相交两直线；

④平行两直线；

⑤任意平面图形。

图 2.27 是用各方法所表示的同一平面的投影图，从图中可以看出，以上各组元素可以互相转化。同一平面无论采用何种形式表示，其空间位置始终不变。

2）平面的分类及其投影特性

在三投影面体系中，根据平面与投影面的位置关系，平面可分为投影面垂直面、投影面平行面和一般位置平面三种，其中前两种称为特殊位置平面。

平面的投影也应符合“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。下面分别介绍各种位置平面的投影特性。

（1）投影面垂直面

只垂直于某一个投影面而与其他两个投影面倾斜的平面称为投影面垂直面。其中，垂直于水平投影面（H面）的平面称为铅垂面；垂直于正面（V面）的平面称为正垂面；垂直于侧面（W面）的平面称为侧垂面。

如图 2.28 所示，铅垂面P垂直于H面而与V面和W面倾斜，其投影特性是：

①水平投影p为一倾斜线段，具有积聚性；

②正面投影和侧面投影都是类似形，且小于实形。

各种投影面垂直面的投影特性见表 2.3。

投影面垂直面的投影特性可归结为以下几点：

①在与平面垂直的投影面上，该平面的投影积聚为一倾斜直线，该直线与投影轴的夹角分别反映该平面对另外两个投影面的夹角。

②在另外两个投影面上的投影均为比实形小的类似形。

（2）投影面平行面

平行于一个投影面也即与另外两个投影面都垂直的平面称为投影面平行面。其中，平行于水平投影面（H面）的平面称为水平面；平行于正面（V面）的平面称为正平面；平行于侧面（W面）的平面称为侧平面。

图 2.29 表示正平面P的投影，正平面P平行于V面，垂直于H面和W面，其投影特性是：

①正面投影p′反映平面P的实形；

②水平投影和侧面投影分别积聚为平行于OX轴和OZ轴的一条直线。

各种投影面平行面的投影特性见表 2.4。

投影面平行面的投影特性可归结为以下两点：

①在与平面平行的投影面上，其投影反映平面图形的实形。

②在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且均积聚为一条直线。

必须注意：不能把投影面平行面说成投影面垂直面（例如不能把水平面说成正垂面或侧垂面），它们的定义不同，投影特性也有很大差别。投影面平行面和投影面垂直面都有积聚性的投影（直线），虽然不能反映平面的形状，但能表示平面的位置。在以后作图时，经常会应用特殊位置平面的这一投影特性。

（3）一般位置平面

与三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面。图 2.30 表示一般位置平面△ABC的投影。由于它与三个投影面都是倾斜的，因此一般位置平面的投影特性是：三个投影都是小于实形的类似形。

3）平面内的直线和点

在由几何元素确定的平面内，可以根据需要任意取点、取线和作平面图形。在作图过程中有时需要根据平面内的点或直线的一个投影，求作该点或该直线的其余投影，即在已知平面内取点或取直线的基本作图问题，下面介绍此类问题的作图方法。

（1）平面内的直线

直线在平面内的几何条件是：直线必通过平面内的两点，或通过平面内的一点，且平行于平面内的任一直线。因此，在投影图中，要在平面内取直线，必须先在平面内已知线上取点。

如图 2.31 所示，AB、AC为两相交直线，点M在直线AB上，点N在直线AC上，则直线MN必在AB与BC两相交直线所决定的平面P上。

如图 2.32 所示，DE与EF两相交直线决定一平面Q，在DE上取一点M，过点M作MN∥EF，则MN必定在平面Q上。

（2）平面内的点

点在平面内的几何条件是：如果点在平面内的某一直线上，则此点必在该平面内。因此，在一般情况下，要在平面内取点，应先在平面内取直线，再在该直线上取点。

如图 2.33 所示，两相交直线AB和BC确定一平面，点D在直线AB上，点E在直线BC上，因此点D及点E均在AB和BC所确定的平面内。

【例 2.7】 如图 2.34（a）所示，判断点D是否在△ABC确定的平面内。

分析：若点D位于△ABC平面的一条直线上，则点D必在△ABC平面内，否则就不在△ABC平面内。

解：如图 2.34（b）所示，连接点a′与d′并延长，交b′c′于点e′，求出点e′；再连接直线ae，因为点d在直线ae上，故可知点D在直线AE上，所以点D必在△ABC平面内。

同理可以先连接ad，用同样的方法判别。

【例 2.8】 已知四边形ABCD的水平投影及AB、BC两边的正面投影，如图 2.35（a）所示，完成该四边形的正面投影。

解：由于四边形ABCD的两相交边线AB、BC的投影已知，即平面ABC已知，所以本题实际上是求属于平面ABC上的点D的正面投影d′，可以根据平面内取点、直线的方法作出，如图 2.35（b）所示。

①分别连接四边形的对角线ac和bd，得交点k；

②过点k作竖直线kk′，与a′c′相交于点k′；

③延长b′k′，与过点d向上所作的竖直线相交于点d′，连a′d′、c′d′即得所求四边形的正面投影。

【例 2.9】 如图 2.36（a）所示，完成四边形ABCD平面上的缺口EFGH的水平投影。已知a′b′∥h′g′，b′c′∥g′f′。

解：①如图 2.36（b）所示，延长g′f′，与c′d′相交于点j′，并在cd上求得点j。

②因为b′c′∥g′f′，过点j作jk∥cb交ab于点k。再由点f′、g′分别作投影连线，与jk交于点f、g，即为F、G两点的水平投影。

③因为a′b′∥h′g′，由点g作gh∥ba交ad于点h，得GH的水平投影gh。

④延长e′f′，交b′c′于点l′。由点l′作投影连线，与bc相交于点l。连接点l与点f，延长后交ad于点e，即得EF的水平投影ef，efgh即为缺口EFGH的水平投影。

4）直线与平面、平面与平面的相对位置

直线与平面、平面与平面的相对位置，有平行和相交两种情况，垂直是相交的特殊情况。

（1）平行问题

①直线与平面平行。直线与平面平行的几何条件是：若直线平行于平面内的一直线，则该直线与平面平行。通常，在已知平面内找到与平面外直线平行的直线，用于作图和判断。

【例 2.10】 如图 2.37（a）所示，试过平面△ABC外一点M作一正平线平行于平面△ABC。

解：分析平面△ABC内有若干互相平行的正平线。任作出一条后，再过点M作此正平线的平行线即为所求。

①在△ABC内作一正平线CD（cd，c′d′）。

②过点M作MN∥CD，即过点m′作m′n′∥c′d′，mn∥cd，点N可任取，则直线MN即为所求，如图 2.37（b）所示。

【例 2.11】 判断直线MN与△ABC是否平行，如图 2.38 所示。

解：要判断直线MN与△ABC是否平行，实际上是要看能否在△ABC内作出一条与直线MN平行的线。因此，在图 2.38 中先在△ABC内取一直线CD，并使其正面投影c′d′∥m′n′，再求出CD的水平投影cd。本例中，由于cd不平行于mn，即在△ABC内找不到与MN平行的直线，所以直线MN与△ABC不平行。

②平面与平面平行。两个平面平行的几何条件是：如果一个平面内的两相交直线与另一个平面平行，则这两平面互相平行。

【例 2.12】 过点D作一平面平行于△ABC，如图 2.39 所示。

分析：根据两平面平行的几何条件，只要过点D作两相交直线平行于△ABC内任意两相交直线即可。

解：在图中作d′e′∥a′b′、d′f′∥a′c′、de∥ab、df∥ac，则DE和DF所确定的平面即为所求。

【例 2.13】 试判断图 2.40 所示的两个平面是否平行。

解：如图 2.40 所示，在四边形ABCD的正面投影上作a′h′∥e′f′，作出其水平投影ah，观察水平投影ah不平行于ef，说明在四边形ABCD内不存在与△EFG平行的相交二直线，所以两平面不平行。

根据直线与平面平行、平面与平面平行的几何定理，再结合“平行两直线的同面投影平行”和“垂直于投影面的平面在该投影面上的投影积聚成直线”这两条投影特性，可以得出关于平行问题的两个投影特性：

a.当直线与垂直于投影面的平面平行时，则它们在这个投影面上的投影也平行。如图2.41 所示，直线AB与铅垂面P平行，则有ab∥P。

b.当两个互相平行的平面垂直于同一投影面时，则它们在这个投影面上的投影也平行。如图 2.42 所示，平面P和平面Q是互相平行的两个铅垂面，则有p∥q。

【例 2.14】 判断图 2.43 所示的两平面是否平行。

解：由图 2.43 可知△EFG为正垂面，其正面投影积聚为线，平面ABCD为一般位置平面，其正面投影无积聚性，故两平面不平行。

（2）相交问题

①直线与平面相交。直线与平面不平行则必相交，其交点是直线和平面的共有点。在作图时，除了要求出交点的投影外，还要判别直线的可见性。

为讨论问题的方便和清楚起见，本章只讨论特殊情况下求交点或交线的问题。有兴趣的读者，可从中找出规律，以引申到一般位置的线面相交及面面相交问题的求解。

a.直线与特殊位置平面相交。特殊位置平面至少有一个投影有积聚性，直线与特殊位置平面相交可利用该平面的具有积聚性的投影，直接找出交点的一个投影，再利用线上取点的方法求出交点的其他投影。

【例 2.15】 如图 2.44（a）所示，求直线MN与平面△ABC的交点。

解：①由图 2.44（a）可知，△ABC为铅垂面，其水平投影具有积聚性。因此，交点K的水平投影k既在直线mn上，又在直线bac上，mn与bac的交点为k。

②根据点K在直线MN上的投影特性，在m′n′上可求得k′。

利用判断重影点的方法，判断直线MN的可见性。交点K是直线MN可见部分和不可见部分的分界点。直线MN被△ABC挡住部分为不可见，用细虚线表示。

在正面投影中，a′b′c′与m′n′有重合的部分，这段直线对正面存在可见性问题，可见部分与不可见部分的分界点为交点K。从水平投影中可以看出，在k点的右侧，mn在bac的前面，说明点K的右侧可见，左侧不可见。因此，k′右侧画成粗实线，左侧画成细虚线。在水平投影中，平面积聚为一直线bac，与直线mn不重合（相交），故直线mn两部分均可见。

b.投影面垂直线与一般位置平面相交。投影面垂直线与一般位置平面相交，交点的一个投影重合在直线有积聚性的同面投影上，而另一个投影是平面上过交点所作辅助线与已知直线的同面投影的交点。

【例 2.16】 求铅垂线EF与△ABC的交点，如图 2.45（a）所示。

解：直线EF为一铅垂线，它的水平投影积聚成一点e（f）。设直线EF与△ABC交于点K，则其水平投影k必与之重合为e（f，k）。求点K的正面投影k′，可以利用面上找点的方法，过点K在△ABC内作一辅助直线AD，作出它的正面投影a′d′，a′d′与e′f′的交点即为k′，如图 2.45（b）所示。

判断V面投影的可见性，EF上的点G与AB上的点H是一对重影点，其V面投影重合。由水平投影可知，点g在前，点h在后，所以EK在△ABC的前面，则e′k′可见，用粗实线表示；KF在△ABC的后面，故k′f′不可见，用细虚线表示，如图 2.45（b）所示。

②平面与平面相交。两平面不平行则必相交，交线为一直线，是两平面的共有线。求作两平面交线的方法是：求出交线上的两个共有点，或者一个共有点和交线的方向。交线的投影作出后，还要判别两平面重影部分的可见性。

【例 2.17】 试求图 2.46（a）所示的△ABC与△DEF的交线。

解：由图 2.46（a）可知△DEF是一个水平面，它的正面投影具有积聚性，在正面投影上容易找到两个共有点的正面投影m′、n′。连接m′n′即为交线的正面投影（也积聚在△DEF的正面投影上）。点M、N分别为AB、BC上的点，在ab和bc上求出水平投影m和n，连接m、n，即得交线的水平投影，如图 2.46（b）所示。

两平面的正面投影不重合，水平投影有重合部分，需判别其可见性。可见部分与不可见部分的分界线为交线MN，从正面投影可以看出，m′n′将△ABC分成两部分，点B所在的一半在△DEF的上方，点A、C所在的一半在△DEF的下方，因此，△ABC的水平投影B点所在一侧可见，A、C点所在一侧不可见，如图 2.46（b）所示。

【例 2.18】 求图 2.47（a）所示两个铅垂面△ABC和矩形P的交线的投影。

解：两个铅垂面的交线必定是铅垂线。因此，它们的水平投影的交点 12 就是其交线的水平投影；如图 2.47（b）所示，根据水平投影 12 即可求出正面投影 1′2′。

水平投影不重合，都是可见的。正面投影需判别可见性，根据水平投影中所反映的前后关系判别，判别结果如图 2.47（b）所示。

（3）垂直问题

垂直是相交的特殊情况，下面将介绍三种特殊情况下关于垂直问题的投影特性。

定理一： 如果直线垂直于平面，则该直线必定垂直于该平面内的所有直线；反之，若平面内有两相交直线垂直于平面外一条直线，则这条直线必定垂直于该平面。

定理二： 如果直线垂直于平面，则该平面外与这条直线平行的直线也垂直于该平面。

推论 1：如果互相垂直的两直线之一与投影面平行，则它们在该投影面上的投影也互相垂直。

如图 2.48 所示，直线AB、CD互相垂直，且AB是水平线，则它们的水平投影ab⊥cd。

证明：

令相交两直线CD和Bb所确定的平面为P，则根据立体几何和投影性质可知：

AB⊥CD，AB⊥Bb，所以AB⊥P，又因ab∥AB，所以ab⊥P，也有ab⊥cd。

推论 2：如果直线垂直于投影面垂直面，则这条直线平行于该投影面，且直线与平面在该投影面上的投影也互相垂直。

如图 2.49 所示，平面P为一铅垂面，则垂直于它的直线AK一定是水平线，由于水平线AK与平面P内的所有直线都垂直，根据推论 1 可以判定：AK的水平投影ak必定与平面P的水平投影互相垂直。

推论 3：互相垂直的两平面垂直于同一个投影面时，它们在该投影面上的投影也互相垂直。

如图 2.50 所示，P和Q两个铅垂面互相垂直，根据立体几何可知：如果两个平面互相垂直，则在其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线，必定垂直于另一个平面。在平面Q内取一水平线AB，并使AB垂直于P和Q的交线，则AB必然垂直于平面P，根据推论 2 可以判定：P和Q的水平投影也互相垂直。