1.3 几何作图

机件的轮廓形状虽然是多种多样的，但它们基本都是由直线和曲线组成的几何图形。常见的几何作图有等分线段、正多边形、线段连接等，在工程上常见的还有斜度和锥度，以及椭圆、渐开线、螺旋线等曲线的画法。掌握几何图形的绘图方法是正确绘制机械图样的基础，必须熟练运用。

1.3.1 等分线段

如图 1.32 所示，要求将一直线段AB五等分。

作图步骤：

①由端点A任作一直线段AC。

②在AC上以适当长度截取 5 个等分点。

③连接 5B，过点 1、2、3、4 作 5B的平行线，与AB交于 1′、2′、3′、4′，即为所求。

1.3.2 正多边形

1）正六边形

（1）根据对角线长度作图

由于正六边形的对角线长度就是其外接圆的直径，且正六边形的边长就等于这个外接圆的半径，因此，以边长在外接圆上截取各顶点，即可画出正六边形，如图 1.33 所示。正六边形也可以利用 60°三角板配合丁字尺作平行线，画出 4 条斜边，再以丁字尺作上、下两条水平边即可，如图 1.34 所示。

（2）根据对边距离作图

先从正六边形的中心画出对称中心线，根据对边距离S作出一对平行边，再用 60°三角板配合丁字尺，使三角板的斜边通过正六边形的中心，就可在这对对边上得到 4 个顶点，如图 1.35（a）所示，然后完成正六边形，如图 1.35（b）所示。

2）正五边形

已知正五边形的外接圆，其作图方法如图 1.36 所示。

①以A为圆心，OA为半径画弧交圆于E、F，连接EF，与OA交于M。

②以M为圆心，CM为半径画弧交OB于K，CK为正五边形边长。

③以CK为长自C截圆周得P ₁ 、P ₂ 、P ₃ 、P ₄ 、P ₅ （C点），依次连接，即得五边形。

3）正n边形

若已知圆周半径为R，以正七边形为例介绍圆内接正多边形的画法，如图 1.37 所示。

①七等分外接圆直径AK。

②以K为圆心，AK为半径画弧交水平中心线于P和S。

③自点P和S与直径AK上的偶数点相连，延长到圆周得点G、B、F、C、E、D，依次相连得正七边形。

1.3.3 圆的切线

在最基本的几何图形中，经常会遇见作圆的切线的问题。求作圆的切线的情况有 3 种：

①过圆外一点作圆的切线。

②作两圆的外公切线。

③作两圆的内公切线。

3 种形式的切线的作图步骤见表 1.5。

1.3.4 椭圆

椭圆是常见的非圆曲线。已知椭圆长、短轴时，常采用四心圆弧法和同心圆法画椭圆，如图 1.38 所示。

（1）四心圆弧法（近似画法）

①连接AC，以O为圆心，OA为半径画弧，交OC延长线于E。

②以C为圆心，CE为半径画圆弧，交AC于E ₁ 。

③作AE ₁ 的中垂线，分别交长轴OA、短轴OD于点O ₁ 和O ₂ ，并取其对称点O ₃ 、O ₄ 。

④分别以O ₁ 、O ₃ 为圆心，O ₁ A（O ₃ B）为半径；O ₂ 、O ₄ 为圆心，O ₂ C（O ₄ D）为半径画圆弧，即得近似椭圆，切点为K、N、N ₁ 、K ₁ 。

（2）同心圆法

①以O为圆心，AB与CD为直径作两个同心圆。

②由O作一系列直线与两同心圆相交。

③由大圆和小圆上的各交点分别作短轴和长轴的平行线，每两对应平行线的交点即为椭圆上的一系列点。

④依次使用圆规光滑连接各点，即得椭圆。

1.3.5 斜度与锥度

1）斜度

斜度是指一直线（或平面）对另一直线（或平面）的倾斜程度，斜度大小用它们夹角的正切值来表示。即

在图样上，斜度用 1 ∶n的形式标注，注写在斜度图形符号“∠”的后面；指引线从被标注的“斜线”引出，标注斜度的基准线则与参考线平行，图形符号倾斜方向应与图形的斜度方向一致，如图 1.39 所示，符号的线宽为h /10。

斜度的作法如图 1.40 所示。

①作OB⊥OA，在OA和OB上各取 5 个和 1 个单位长度，连接P ₁ 和P ₅ ，即得 1 ∶5 的斜度。

②过A点向上作直线段AC＝ 10，再过C点作P ₁ P ₅ 的平行线即可。

2）锥度

锥度是指正圆锥的底圆直径与其高度之比或正圆锥台的两底圆直径差与其高度之比，即

在图样上锥度用 1 ∶n的形式标注，注写在图形符号“ ”的后面。该符号配置在基准线（与圆锥轴线平行）上，并靠近圆锥轮廓线，指引线从圆锥轮廓线引出，图形符号倾斜方向与锥度方向一致，如图 1.41 所示，符号的线宽为h /10。

锥度的作法如图 1.42 所示。

①作AB⊥OC，在OC和AB上各取 5 个和 1 个单位长度，连接CD和CE，即得 1 ∶5 的斜度。

②分别过点A和B作CD和CE的平行线即可。

1.3.6 圆弧连接

用已知半径但未知圆心位置的圆弧（称为连接弧）光滑地连接两已知线段（直线或圆弧），即与两已知线段相切，称为圆弧连接。常见的圆弧连接有以下几种：

①用连接圆弧连接两已知直线。

②用连接圆弧连接两已知圆弧。其中包括：

a.连接圆弧与两已知圆弧外连接（外切）。

b.连接圆弧与两已知圆弧内连接（内切）。

c.连接圆弧与两已知圆弧一端外连接、另一端内连接（混合连接）。

③用连接圆弧连接一已知直线与一已知圆弧。其中包括：

a.连接圆弧与已知圆弧外连接。

b.连接圆弧与已知圆弧内连接。

（1）圆弧连接的基本作图

圆弧连接的作图要点是运用几何作图的原理找出连接圆弧的圆心和两弧的连接点（即切点），这是保证光滑连接的必要条件。

①半径为R的圆弧与已知直线Ⅰ相切，圆心的轨迹是距离直线Ⅰ为R的两条平行线Ⅱ和Ⅲ。当圆心为O ₁ 时，由O ₁ 向直线Ⅰ所作垂线的垂足K就是切点，如图 1.43（a）所示。

②半径为R的圆弧与已知圆弧（半径为R ₁ ）外切，圆心的轨迹是已知圆弧的同心圆，其半径R ₂ ＝R＋R ₁ 。当圆心为O ₁ 时，连心线OO ₁ 与已知圆弧的交点K就是切点，如图 1.43（b）所示。

③半径为R的圆弧与已知圆弧（半径为R ₁ ）内切，圆心的轨迹是已知圆弧的同心圆，其半径R ₂ ＝R ₁ －R。当圆心为O ₁ 时，连心线OO ₁ 与已知圆弧的交点K就是切点，如图 1.43（c）所示。

（2）圆弧连接作图示例

各种形式的圆弧连接的作图方法见表 1.6。