关于五条线的问题所需的最基本、最简单的曲线

如果古人提出的问题涉及五条直线，并且它们相互平行，那么，显然地，所求的点总是落在一条直线上。假设提出的问题涉及五条直线，且满足以下条件：

（1）其中四条相互平行，第五条与其他四条垂直；

（2）从所求点所引直线与给定五条直线均垂直；

（3）作与三条平行直线相交的三条线段，以此三条线段为边所作的平行六面体 必然等于以另三条线段为边所作的平行六面体，这三条线段分别为：所作的与第四条平行线相交的线段、与垂线相交的线段，以及某条给定线段。

除去前文所提及的特殊情况，这是最简单的一种情形了。所求点将落在由一条抛物线以下述方式运动所形成的曲线上：

在图2-7中，假定给定直线为 AB 、 IH 、 ED 、 GF 、 GA ，需找到一点 C ，使得当所作线段 CB 、 CF 、 CD 、 CH 、 CM 分别与给定线段垂直时，以 CF 、 CD 、 CH 这三条线段为边作成的平行六面体与以 CB 、 CM 和 AI 为边所作的平行六面体相等。令 CB = y ， CM = x ， AI = AE = GE = a ，那么，当 C 落在 AB 和 DE 之间时，有 CF =2 a - y ， CD = a - y ， CH = y + a 。这三个量的乘积就等于其他三条线段的乘积，即 y ³ -2 ay ² - a ² y +2 a ³ = axy 。

接下来，我们考虑曲线 CEG 。我想象其为抛物线 CKN （该抛物线运动时，其直径 KL 总是落在直线 AB 上） 和直尺 GL （该直尺绕点 G 旋转时，总是落在抛物线所在的平面内且经过点 L ） 的交点所描绘出的曲线。取 KL = a ，令主正焦弦与给定抛物线的轴的正焦弦一一对应，也等于 a ，并令 GA =2 a ， CB 或 MA = y ， CM 或 AB = x 。由于△ GMC 和△ CBL 相似， ， GM =2 a - y ， MC = x ， CB = y ，则 。又由于 KL = a ，则 BK = 或 。再则，由于 BK 是抛物线直径上的截段，则 （此处， BC 指纵坐标， a 表示正焦弦） ，从而可得， y ³ -2 ay ² - a ² y +2 a ³ = axy ，而点 C 即为所求。

点 C 可为曲线 CEG 或其伴随曲线 cEGc 上的任一点，后者的描绘轨迹，除了该抛物线的顶点转向相反外，其余均与前者相同；点 C 也可能落在 NIo 和 nIO 上，二者是由直线 GL 与抛物线 KN 的另一支的交点所生成的。

再则，假设给定平行线 AB 、 IH 、 ED 和 GF ，两两之间的距离不相等且均不垂直于 GA ，并且所有过点 C 的线段不与给定直线垂直，那么点 C 不总是落在具有同样性质的曲线上。对于给定直线没有两两平行的情况，也可能导致这种结果。

接下来，假设有四条平行直线，第五条直线与它们相交，则以过点 C 所作的三条线段 （一条引向第五条直线，两条引向平行线中的两条） 为边作成的平行六面体，与以过点 C 所作的与其他两条平行线相交的两条线段和另一条给定线段为边作成的平行六面体相等。这种情况下，所求点 C 落在一条具有不同性质的曲线上 ^[19] ，即这条曲线上所有到其直径的纵标线等于一种圆锥截线的纵标线，直径上位于顶点和纵标线之间的线段 与某给定线段之比等于这条线段与圆锥截线的直径上具有相同纵标线的那一段的比 。

我不能说这条曲线比前文所提到的曲线复杂，但我确实认为，前文那条曲线应该首先被考虑，因为其描绘方式和方程的确定都相对简单些。

我不再对其他情形的曲线作详尽的讨论，因为我还一直没有对这一课题进行完全的论述。由于已经解释了确定落在某一条曲线上的无穷多个点的方法，我想我已经提供了描绘这些曲线的方法。 FKOBHkFlAs1xi1bh8THHh7nUirWF4dYMmT6FUmqNTSiMiSVFd6mjEUgZ5n6bfxcX