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上述结论的证明非常简单。在图2-6中，因为对于上文给出的量，比如正焦弦、直径、直径 NL 或 OP 上的截段，采用阿波罗尼奥斯著作第一编的定理11、12和13就能作出其乘积，得出的结果正好表示线段 CP 或 CL 的平方，也就是直径的纵坐标。
（图2-6）
这里，我们应从 NM 或者与之相等的量
中除去
IM
，即
。
又，
，在
IN
上加
IL
即
，得
用上式乘以曲线的正焦弦
得到一个矩形的值
再从其中减去一个矩形，该矩形与 NL 的平方的比值，等于正焦弦与直径之比。而 NL 的平方为
因为这些项可以表示出直径与正焦弦之比，所以我们用 a 2 m 除上式再乘 pz 2 ，得
阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》书影。
接下来，我们再从之前得到的矩形中减去上式，得
由此可知， CL 是附于 NL （直径的截段） 上的椭圆或圆的纵坐标。
假设给所有上述线段和角度赋值，如
EA
=3，
AG
=5，
AB
=
BR
，
BE
，
GB
=
BT
，
，
CF
=2
CS
，
，∠
ABR
=60°，且令
CB
·
CF
=
CD
·
CH
。要想求解这一问题，这些量都必须已知。现令
AB
=
x
，
CB
=
y
。通过上述方法，我们可得
y 2 =2 y - xy +5 x - x 2
其中
BK
必定等于1，
KL
必定等于
。由于∠
IKL
=∠
ABR
=60°，∠
KIL
=30°
（等于
或
），则∠
IKL
=90°。又由于
IK
=
AB
=
x
，
，
，且
z
表示的量为1，可得
，
m
=1，
o
=4，
，那么
，
。又由于
，则由此可知，曲线
NC
为圆。对于其他任何情况，用类似的方法求解都不会太难。