笛卡尔几何最新章节_勒内·笛卡尔著

仅有三条或四条线段时这一问题的解

现在，有必要对给定三条或四条线段的情况给出更具体的证明，并对每种特殊情况给出求曲线的方法。这个过程将表明，第一类曲线仅包含圆和三种圆锥曲线。

在图2-3中，再次考虑前文四条给定线段 AB 、 AD 、 EF 和 GH ，求点 C 生成的轨迹，使过点 C 所作的四条线段 CB 、 CD 、 CF 和 CH 分别与给定线段成给定角度，且 CB 与 CF 的乘积等于 CD 与 CH 的乘积。也就是说，如果

（图2-3）

那么，方程为

这里假设 ez ＞ cg ，否则正负符号都要改变。在这个方程中，如果 y =0，或 y 为负数，且假定点 C 落在∠ DAG 内，那么为导出这一结论，点 C 必须假定落在∠ DAE 、∠ EAR 或∠ RAG 的其中之一内，且符号也要改变。如果对于这四种位置， y 都为0，那么该问题就无解。

假设解存在，为简化推导过程，我们将记作2 m ，将记作，那么，我们可以得到

其根为

依然为了简化推导过程，记，那么，对于这些给定的量，我们可以用某一种记号来表示。于是，我们有

这就给出了线段 BC 的长度，但无法确定 AB ，即 x 的长度。由于问题仅涉及三条或四条线段，显然我们无论如何都能得到一些项，尽管其中某些项可能变成0，或符号全部发生改变 ^[9] 。

接下来，在图2-4中（图2-4与图2-3相同，为方便阅读而使用不同编号，后有同样情况）作 KI 平行且等于 BA ，并交 BC 于 K ， BK = m （因为 BC 的表达式中包含+ m ；如果它是- m ，我将沿 AB 的反方向作 IK ^[10] ；如果 m =0，便无须作 IK ）。再作 IL ，使得 IK : KL = z : n ，即，使得当 IK = x 时，。同样地，若知 KL : IL = n : a ，那么若，则。由于方程中包含，便可在点 L 和点 C 之间取点 K ；如果在方程中包含，便可在点 K 和点 C 之间取点 L ^[11] ；如果，就无须作线段 IL 了。

（图2-4）

完成上面的步骤后，将得到的表达式为

从而可画出 LC 。显然，如果该等式等于0，那么点 C 将落在直线 IL 上 ^[12] ；如果该等式具有完全平方根，即，如果 m ² 和均为正，且 o ² =4 pm ，或者 m ² = ox =0，或，那么点 C 将落在另一条直线上，其位置和 IL 一样很好确定。

如果这些例外情况均未出现 ^[13] ，那么点 C 总是会落在三种圆锥曲线之一上，又或者落在直径在线段 IL 上的圆上，而线段 LC 则完全附在该直径上；另一方面， LC 平行于一直径，而 IL 完全地附于其上。

特别地，如果，这条圆锥曲线就是一条抛物线；如果该项前面是正号，所得就为一条双曲线；如果该项前面是负号，所得就为一个椭圆。当 a ² m = pz ² 或∠ ILC 是直角时例外 ^[14] ，此时的轨迹是一个圆而非椭圆 ^[15] 。

如果这条圆锥曲线是一条抛物线，它的正焦弦就为，它的直径也总是落在直线 IL 上的 ^[16] 。为了找到它的顶点 N ，令，使得当 m 和 ox 均为正时，点 I 落在点 L 和点 N 之间；当 m 为正且 ox 为负时，点 L 落在点 I 和点 N 之间；当 m ² 为负且 ox 为正时，点 N 落在点 I 和点 L 之间。然而，在上述式子中， m ² 不可能为负。最后，如果 m ² =0，点 N 必定与点 I 重合。这样，根据阿波罗尼奥斯著作中第一编的第一个问题，我们很容易确定这是一条抛物线。

但是，如果所求轨迹是圆、椭圆或双曲线，则一定要先找到图形的中心点 M 。它位于直线 IL 上，当取时即可作出。如果 o =0，那么点 M 与点 I 重合。如果所求轨迹是圆或椭圆，那么当 ox 为正时，点 M 和点 L 必定落在点 I 的同侧；当 ox 为负时，它们必定落在点 I 的异侧。如果所求轨迹是双曲线，那么当 ox 为负时，点 M 和点 L 落在点 I 的同侧；当 ox 为正时，它们落在点 I 的异侧。