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在对曲线做了大致分类之后，要证明我所给出的帕普斯问题的解就很容易了。首先，我已经证明，在仅有三条或四条线段时，用于确定所求点的方程为二次方程。因此，包含这些点的曲线必然属于第一类曲线，因为这样的方程所表示的是第一类曲线上的所有点与一条固定直线上的所有点之间的关系。当给定直线不超过八条时，这个方程充其量是四次的，因此所得曲线属于第二类或第一类；当给定线段不超过十二条时，这个方程是六次或者更低次的，因此所求曲线属于第三类或更低的类；以此类推。
其次，由于给定直线的位置都是确定的，某一条位置发生变化，都会使方程中已知量的值和正负符号发生相应的改变，因此很显然：当有四条给定直线时，凡第一类曲线皆为这类问题的解；当有八条给定直线时，凡第二类曲线皆为这类问题的解；当有十二条给定直线时，凡第三类曲线皆为这类问题的解；以此类推。由此可见，凡是能够得到其方程的几何曲线，皆能作为若干条直线的问题的解。