区分所有曲线类别并掌握它们与直线上点的关系的方法

在此，我将给出其他几种描绘和想象一系列曲线的方法，而这些曲线都比前面提到的任何曲线更加复杂。但我认为，将所有这些曲线组合在一起并依此归类的最好方法是：先找到那些我们称之为“几何曲线”的所有的点，即那些可以精准度量的点，同时这些点必定与一条直线上的所有点具有确定的关系 ，而且这种关系必须通过单个方程表示出来 。如果这个方程不包含比两个未知量的乘积或一个未知量的平方的次数高的项，那么该曲线就属于第一类曲线，也是“最简单的一类曲线” ，只包括圆、抛物线、双曲线和椭圆；如果该方程包含一个或两个未知量的 三次项或四次项 ^[4] （因为该曲线需要两个未知量来描绘两点之间的关系） ，那么该曲线属于第二类；如果该方程包含一个或两个未知量的五次项或六次项，那么该曲线属于第三类；依此类推。

在图2-2中，设曲线 EC 为直尺 GL 与平面直线图形 CNKL 的交点的轨迹，直线图形的边 KN 为 CN 的延长线，图形本身以下面的方式在同一平面内移动：它的边 KL 始终与线段 BA （朝两个方向延长） 的一部分共线，直尺 GL 绕点 G 旋转 （直尺 GL 交图形 CNKL 于 L ） ^[5] 。如果想知道该曲线属于哪一类，则可以任选一条直线，比如 AB ，将其作为曲线上所有点的参照物，然后在 AB 上选定一个点作为起点，比如点 A ，进行探究 ^[6] 。这里之所以说“任选”，是因为我们可以自由地选择线段。虽然为了使方程尽可能简短，在选择线段时需要小心谨慎，但是无论我们选择哪一条线段充当 AB ，所得到的曲线都属于同一类，这是很容易证明的 。

接下来，我在该曲线上取任意一点，如点 C ，假设用来描绘曲线的工具经过该点，过点 C 作线段 CB 平行于 GA 。由于 CB 与 BA 均为未知且不确定的量，我便将二者分别设为 y ， x 。要想得到这些量之间的关系，还必须考虑一些构成该曲线的已知量，比如，我设 GA 为 a ，设 KL 为 b ，设 NL 为 c ，其中 NL//GA 。由于 NL : LK = c : b ， CB = y ，则 。那么 BL = ， 。此外，由于 ， AG = a ， ， CB : LB = AG : LA ，则可得 ，这是通过将第一项乘以最后一项得到的。因此，所求方程为

从这个方程可知，曲线 EC 属于第一类曲线，它实际上是一条双曲线。 ^[7]

如果把上述所用工具中的直线 CNK ，换成位于 CNKL 内的双曲线或其他第一类曲线，则该曲线与直尺 GL 的交点的轨迹将描绘出第二类曲线，而非双曲线 EC 。

因此，如果 CNK 是一个以 L 为圆心的圆，我们将描绘出古人所掌握的第一条螺旋线。而如果 CNK 是一条以 KB 为轴的抛物线，我们将描绘出一条我在前文中提到的曲线。这是一条最主要的也最简单的曲线，它是帕普斯问题的一个解，即当给定五条直线的位置时的解。

如果描绘曲线所使用的工具不是位于平面 CNKL 内的第一类曲线，而是第二类曲线，那么得到的将是第三类曲线；如果使用的工具是第三类曲线，那么得到的将是第四类曲线；以此类推 ^[8] 。这些论断很容易通过具体计算得以证明。

因此，无论我们如何想象所要描绘的曲线，鉴于其总是我所说的几何曲线之一种，总是可以用这种方法找到一个足以确定曲线上所有点的方程。现在，我将四次方程的曲线和三次方程的曲线归为一类，将六次方程的曲线和五次方程的曲线归为一类，以此类推。这种分类方法是基于一个一般规律，即四次方程可以降次为三次方程，六次方程可以降次为五次方程，因此，在任何一种情况下，都无须认为后者比前者更复杂。

不过，值得注意的是，对于任何一类曲线，其中既有很多曲线因为具有同等的复杂性而被用来确定相同的点、解决相同的问题，也有一些相对简单的曲线，其用途比较局限。我们可以看到，在第一类曲线中，除了具有同等复杂性的椭圆、双曲线和抛物线，还有明显相对简单的圆。在第二类曲线中，我们发现常见的螺旋线通常是由圆和其他一些曲线描绘而成的，虽然它相对于同类的许多曲线更简单，但并不能将其归为第一类曲线 。 tOXNNsClmAHs8p1xWMGtkd7Jl0rQAzelJa/DrsoppWJURYgk7z40tOwxPzNpKcFE