哪些曲线可以被纳入几何学

古人都认同一个事实，即几何问题可以归为平面问题、立体问题和线性问题这三类 。也就是说，求解几何问题时，一部分只需用到圆和直线，一部分需要用到圆锥曲线，还有一部分则需用到更复杂的曲线 。然而，令人不解的是，古人并没有进一步地区分不同次数的更复杂的曲线，更使人吃惊的是，他们将这最后一类曲线称为“机械的”而非“几何的” 。如果说，他们是因为在描绘这类曲线的时候需要用到一些工具而称其为机械的，那么，出于一致性原则，我们也应该拒绝圆和直线，因为它们必须通过圆规和直尺才能在纸上画出来，而圆规和直尺也可以称为工具。我们也不能因为其他工具比圆规和直尺复杂，就认为圆规和直尺精密度较低；如果是这样的话，它们也不会被应用于机械学领域，毕竟机械学对于工具精密度的要求比几何学更高。在几何学中，我们更注重推理的精确性 ，对于更复杂的曲线的讨论，就和相对简单的曲线一样 ，必定都是绝对严格的。我也不相信，这是因为他们不愿超越以下两个公设：（1）两点之间可作一条线段；（2）以某一定点为圆心，过某一定点可以作一圆。在圆锥曲线问题上，他们直接引入了一个假设：任一给定圆锥体表面都可以被一给定平面截切。现在，针对本书引入的所有曲线，一个额外的假设十分必要，即两条及两条以上的线段，可以一条随着另一条移动，且由它们的交点可以确定其他曲线。在我看来，理解这一点并不困难。

诚然，圆锥曲线从来没有被古代几何学家所接受 ，我也无意于去改变一些约定俗成的事物名称。不过有一点很清楚，如果我们假设几何学是精准的，那么，机械学则不是 ；如果我们认为几何学是一门科学，它能够为我们提供所有关于物体的一般度量的知识，那么，我们就无权将更复杂的曲线与简单曲线割裂开来。倘若复杂曲线可以被想象成由一个或多个连续运动所描绘，而且后一个运动完全由前一个运动所决定，那么，我们便可以得到关于每个运动的精确知识。

也许，古代几何学家之所以拒绝接受比圆锥曲线更复杂的曲线，是因为最先引起他们注意的曲线正好是螺线、割圆曲线及类似的曲线。这些曲线的确都属于机械学而不属于我此处所考虑的曲线之列，因为它们必须被想象成由两个独立的运动所描绘，而这两个运动的关系无法得到精确的确定。尽管几何学家们后来还探究了螺旋线、蔓叶线以及其他一些应该被接受的曲线，但由于对它们的性质不甚了解，相比于其他类型的曲线，他们没有对这些曲线作更深一步的探究。再则，他们可能因为对圆锥曲线知之甚少，对通过尺规作图法可以作出更多图形一无所知，从而不敢着手解决难度更大的问题。我希望在今后，这方面的佼佼者能够使用我在此提到的几何方法，并在将它们应用于平面或立体几何问题时不会遇到很大的困难。鉴于此，我认为有必要对这一内容作更多的拓展，以便给人们提供丰富的实践机会。

在图2-1中，对于线段 AB ， AD ， AF 等，我们可以假设通过工具 YZ 来描绘。该工具是由多把直尺铰接在一起组合而成的， YZ 沿 AN 方向放置，∠ XYZ 可以增大或变小，当 YX 和 YZ 这两条边重合时，点 B 、 C 、 D 、 E 、 F 、 G 、 H 均与点 A 重合。但是随着∠ XYZ 逐渐增大，在 B 点与 XY 总成直角的直尺 BC ，将直尺 CD 朝 Z 方向推进， CD 沿 YZ 滑动并始终与之成直角。同样地， CD 推动 DE 沿 XY 滑动， DE 始终与 BC 平行， DE 推动 EF ， EF 推动 FG ， FG 推动 GH ，以此类推。因此，我们可以想象有无穷多把尺子，每一条推着另一条，一半与 YX 所夹角度相等，另一半与 YZ 所夹角度相等。

随着∠ XYZ 的增大，点 B 描绘出曲线 AB ，这是一个圆。而其他直尺的交点，即点 D 、 F 、 H 则描绘出其他曲线 AD 、 AF 、 AH ，其中 AF 、 AH 比 AD 复杂， AD 比圆复杂。然而，我不知道，为什么第一条曲线 ^[1] 轨迹的描绘，不能像圆或者至少像圆锥曲线的描绘那样简单明了；或者第二条、第三条曲线 ^[2] ，以及其他任何一条曲线，为什么不能像第一条曲线那样可以清晰地想象出来。因此，我认为没有理由不将它们也应用于求解几何问题 ^[3] 。 HBp4leB4Thm9lupYk9s1V6iD1M8eYeT8XSEeTXLDWA5CFA5NHPAqFNvZ7DUd+wax