当给定的直线不超过五条时，如何确定相应的问题是平面问题

此外，要确定点 C ，只需一个条件，即一定数量的线段的乘积与其他线段的乘积相等或成一给定比例 （这很简单） 。由于这一条件可由包含两个未知量的一个方程来表示，所以我们可以赋给 x 或 y 任意值，然后根据这一方程求出另一个值。显然，如果给定的线段不超过五条，则 x （不用于表示这些线段中的已知第一条线段） 的次数不会高于2 ^[18] 。

赋值 y ，可得形如 x ² =± ax ± b ² 的方程，因此， x 可以使用前文所提到的尺规作图法作出。如果我们对线段 y 取无穷多个连续的不同值，便可以得到无穷多个线段 x 的值，进而得到无穷多个不同的点 C ，由此可作出所求曲线。

当涉及六条及以上的线段时，如果其中几条线段平行于 AB 或 BC ，这种方法同样适用，此时 x 或 y 在方程里的次数仅为2，因此点 C 可以通过尺规作图法作出。

如果给定的线段都是平行的，那么即使问题只涉及五条线段，点 C 也无法通过尺规作图法作出。因为方程中没有出现量 x ，也就无法赋予 y 给定的值，而要求出 C 点则必须求出 y 的值 ^[19] 。由于此时 y 的次数是3，它的值只需通过解一个一元三次方程的根便可求得，但是在一般情况下，不用某种圆锥曲线就无法求出一元三次方程的根。

此外，如果给定的线段不超过九条，且所有线段不完全平行，则方程次数不高于4。这些方程也总是可以采用圆锥曲线，并通过我将要介绍的方法去求解。

如果给出的线段不超过十三条，则可以使用次数不高于6的方程，这些方程可以通过次数仅比圆锥曲线高一次的曲线，并采用我将要解释的方法去求解 。

至此，我已完成了第一部分的证明，但在进行第二部分的阐述之前，有必要先对曲线的性质进行一般性的说明。

---

[1] 笛卡尔用 a ³ ， a ⁴ ， a ⁵ ， a ⁶ 等表示 a 的对应次幂，但他并未将 aa 和 a ² 区分开来。比如，他常用 aabb ，但也用 。

[2] 原文中，笛卡尔的记法是： 。

[3] 通常情况下， a ² 被用来表示一个边长为 a 的正方形的面积， b ³ 表示一个边长为 b 的正方体的体积，而 b ⁴ ， b ⁵ 等则无法用几何形式来阐释。但是在这里，笛卡尔所说的 a ² 不具有此含义，它表示与1和 a 构成等比例的比例第三项所对应的线段，然后依此类推。

[4] 笛卡尔似乎认为，每一项的维数必须为3，因此通过与单位线段的乘除，化 a ² b ² 与 b 为适当的维数。

[5] 笛卡尔将其记作 AB ∝1，据说他是第一个使用该符号的人。

[6] 拉比勒建议用 a ， b ， c ，…表示已知量，用 x ， y ， z ，…表示未知量（《对笛卡尔先生几何学的注释》，第20页）。

[7] 舒腾给出了两个例子来解释这一说法。第一个例子是：已知线段 AB ，任一点 C 在线段 AB 上，延长 AB 至 D ，使得 AD · DB = CD ² 。令 AC = a ， CB = b ， BD = x ，则 AD = a + b + x ， CD = b + x ，由此可得 ax + bx + x ² = b ² +2 bx + x ² ，解得 。

[8] 也就是说，这条线段由 x ， x ² ， x ³ ， x ⁴ ，…表示。

[9] 在1637年版的《几何》导言中，笛卡尔说道：“在以前的作品中，我会尽可能地使内容通俗易懂，以便所有人都能读懂，但是现在，我怀疑那些不熟悉几何学的人是否会读到这篇文章，所以我认为大可不必作一些重复的论证。”[参见由查尔斯·亚当（Charles Adam）和保罗·坦纳里（Paul Tannery）编辑的《笛卡尔文集》，巴黎，1897—1910年，第六卷，第368页。]
同年，笛卡尔在给梅森的一封信中写道：“并不是我喜欢自夸，而是因为很少有人能够理解我的几何学思想，并且您也希望我对此给出一些看法，所以我想说这正是我所期望的。在《折光》和《气象》中，我就曾试图说服人们我的方法比普通方法更好。我也已经在我的《几何》中证明了这一点，因为在一开始我就解出了一个尚未有人解出的几何学问题，而根据帕普斯的说法，这是一个千古难题。
“此外，我在《几何》第二编‘曲线的性质’中给出的检验曲线的方法，在我看来，远远超出了一般几何学的论述。
“至于我的部分见解，你可以从弗朗索瓦·韦达（Franciscus Vieta）的作品中了解到。我的作品之所以晦涩难懂，是因为我试图将我认为韦达先生或其他人所不知道的东西添加进去……从某种意义上说，我的几何学作品建立在他的《论方程的识别与订正》的基础之上……也就是说，我从他结束的地方开始。”（参见由维克多·库赞主编的《笛卡尔文集》，巴黎，1824年，第六卷，第294页。）
在1646年4月20日写给梅森的另一封信中，笛卡尔写道：“我省略了一些原本可以使这本书更加明晰的东西，我是故意这么做的。关于这本书，我收到的唯一修订建议是让我把它写得更加浅显易懂，而大部分建议都与此无关。”
在给伊丽莎白公主的一封信中，笛卡尔写道：“在解几何问题时，我尽量使用平行边或直角边作为参考线，而且除了用到‘相似三角形对应边成比例’，以及‘直角三角形斜边的平方等于其他两条边的平方和’这两个定理外，不会用到其他定理。为了将问题化归为只用到这两个定理的项，我不介意引入多个未知量。”

[10] 即形式如 z ² = az ± b 的表达式。

[11] 可以看到，笛卡尔仅考虑了关于 z 的三种二次方程，即 z ² + az - b ² =0， z ² - az - b ² =0，与 z ² - az + b ² =0。这就说明，他似乎也未能完全摆脱传统思维而将系数概括为负数、分数和正数这几种情形。他没有考虑 z ² + az + b ² =0这类方程，因为它没有有理根。

[12] 因为 BC 与 AB 、 AD 的夹角已知。

[13] 因为 AD 与 CB 、 CD 的夹角已知。

[14] ，下文的其他情况与此类似。

[15] 应该注意的是，在所有假设的比例中， z 在前。

[16] 即，表达式形如 ax + by + c ，其中 a ， b ， c 为任一非零有理数（0这一例外情况将在后文中进行说明）。

[17] 下面的例子可以作为一个简单的说明：
已知三条平行线 AB ， CD ， EF 如右图放置，其中 AB 与 CD 间的距离为4个单位， CD 与 EF 间的距离为3个单位，要求找到一点 P ，使得过点 P 所作线段 PL ， PM ， PN 分别与三条平行线成90°，45°，30°，且 PM ² = PL · PN 。
令 PR = y ，则 PN =2 y ， ， PL = y +7。若 PM ² = PN · PL ，则有 ，可得 y =9。因此，点 P 到 EF 的距离为9个单位。

[18] 由于三条线段的乘积与其他两条线段和一已知线段的乘积成给定比例，所以任意一项的次数都不会高于第三条， x 的次数自然也不会高于2。

[19] 即求解含 y 的方程。 kj5nIJ+aKnhqDGgRULkx/MwSf6JwK3qvFtfLxrir2WCEhSwDkKso+G8TGCJW0Nd1