如何选择适当的项来求得问题的方程

首先，我假设以上工作已经全部完成。为了避免线段太多使人混乱，我先把问题简化，即考虑以给定线段中的一条和所作线段中的一条 （比如 AB 和 BC ） 为主线段，然后对其余各条线段也参考这一方法。在图1-5中，设直线 AB 上点 A 与点 B 之间的线段为 x ，设 BC 为 y 。若任一给定线段皆不平行于这两条主线段，则将其延长至与两条主线段相交 （如有必要，这两条主线段也需延长） 。由此，如上节图中所示，其余给定线段交 AB 于点 A 、 E 、 G ，其余所作线段交 BC 于点 R 、 S 、 T 。

由于△ ARB 的所有角都是已知的 ^[12] ，则边 AB 与边 BR 的比值也可知 。如果我们令 AB : BR = z : b ，则由于 AB = x ，可得 ；又因为点 B 在点 C 和点 R 之间，可得 （当点 R 在点 C 和点 B 之间时 ， ；当 C 位于 B 和 R 之间时 ， ）。又由于△ DRC 的三个角的度数已知 ^[13] ，则可以确定边 CR 与边 CD 的比值，记作 CR : CD = z : c ，由于 ，可得 。接着，由于线段 AB ， AD ， EF 的位置是确定的，则点 A 与点 E 之间的距离已知。如果令 AE = k ，则 EB = k+x ；当点 B 位于点 E 和点 A 之间时， EB = k - x ；当点 E 位于点 A 和点 B 之间时， EB =- k + x 。现在，△ ESB 的所有角度已知，故 BE 和 BS 的比值也已知，记作 BE : BS = z : d ，那么， ，且 ^[14] 。当点 S 位于点 B 和点 C 之间时， ；当点 C 位于点 B 和点 S 之间时， 。同样，△ FSC 的所有角已知，故 CS 与 CF 的比值也已知，记作 CS : CF = z : e 。那么， 。同样地，设 AG = l ，则 BG = l - x ，在△ BGT 中， BG 与 BT 的比值已知，记作 BG : BT = z : f ，则 ， 。在△ TCH 中， TC 与 CH 的比值已知，记作 TC : CH = z : g ^[15] ，则可得， 。

因此可以看到，无论有多少条给定位置的线段，任何过点 C 与这些线段成给定角度的线段，其长度总是可以用三个项来表示。其中一项是由未知量 y 乘以或除以某一已知量组成的，一项是由未知量 x 乘以或除以某一已知量组成的，第三项由已知量组成 ^[16] 。对于给定线段平行于 AB （此时没有含 x 的项） 或 CB （此时没有含 y 的项） 的情况，则属于例外。这种情况很简单，不需要作进一步解释 ^[17] 。在所有能想象到的组合中，这些项的符号可以是 + 或－ 。

还可以看到，在由一定数量的所作线段相乘得到的乘积中，任何含 x 或 y 的项的次数绝不会大于所有这些线段 （用 x 和 y 表示） 的数量。也就是说，如果两条线段相乘，没有一项的次数会大于2，如果三条线段相乘，没有一项的次数大于3，以此类推。