平面问题及其解

如果问题可以通过一般的几何学知识，即仅通过使用平面上的直线和圆的轨迹 来求解，那么要使最后一个方程完全解出，至多存在一个未知量的平方，其等于该未知量乘以某一已知量再加上或减去另一已知量 ^[10] 。因此，这个根或者说该未知线段可以很容易地求出。例如，若已知 z ² = az + b ² ，要求未知量 z ，便可在图1-3中作一Rt△ NLM ，其一边 LM = b ，即已知量 b ² 的平方根；另一边 ，即另一已知量 （与未知线段 z 相乘的量） 的一半；那么，延长该直角三角形的斜边 MN 至 O ，使 NO = NL ，则线段 OM 即为所求线段 z ，可以表示为： 。

但是，若已知 y ² =- ay + b ² ，其中 y 为所求未知量，那么，同样作Rt△ NLM ，在斜边 MN 上取点 P ，使 NP = NL ，则 PM 为所求的根 y ，可以表示为： 。

同样地，若已知 x ⁴ =- ax ² + b ² ， PM = x ² ，那么 。

其他情况同理可得。

最后，若已知 z ² = az - b ² ，同样地，在图1-4中，令 ， LM = b ；接下来不再连接点 M 和点 N ，而是作 MQR 平行于 LN ，再以 N 为圆心，经过 L 作圆，交 MQR 于点 Q 和点 R ，则所求线段 z 为 MQ 或 MR 。在这种情况下， z 有以下两种表达方式

若以 N 为圆心过 L 所作的圆，与线段 MQR 既不相交也不相切，则该方程无根，那就是说，我们无法通过作图来求解。

当然，这些根也可以通过许多其他方法求得。我给出这些非常简单的方法，是为了表明，只需运用我所阐释的这四种作图法 ^[11] ，就可以通过作图求出所有普通几何问题的解。我想，古代数学家并没有发现这一点，否则他们也不会花费精力撰写这么多书；而他们作品中的一系列命题表明，他们并没有找到确切的求解方法，而仅仅是将偶然间发现的命题集合在了一起。