1.2 随机变量的概念

定义1-10 ：随机变量。

什么是随机变量？简单地说，随机变量就是“其值随机会而定”的变量。正确把握这一概念的关键在于事件发生的前后：在事件发生前不知道它最终将取何值，这个要凭机会（随机的意思就在于此）；而一旦事件发生，它取什么值就确定了。

定义1-11 ：离散型随机变量、连续型随机变量。

随机变量按照其可能取的值的全体的性质，分为两大类。一类叫离散型随机变量，其特征是只能取有限个值，或虽然在理论上能取无限个值，但是这些值可以毫无遗漏地一个接一个排列出来。另一类叫连续型随机变量，这种变量的全部可能取值不仅是无穷多的，而且还不能无遗漏地逐一排列，而是充满一个区间。

定义1-12 ：概率分布函数。

刻画连续型随机变量概率分布的一个方法，是使用下式所定义的概率分布函数，即：

设 X 为一随机变量，则函数 P ( X ≤ x )= F ( x )，-∞< x <∞，称为 X 的分布函数。

定义1-13 ：概率密度函数。

在理论和实用上更方便，因而更常用的方法，是使用所谓“概率密度函数”（简称密度函数）。

设连续型随机变量 X 有概率分布函数 F ( x )，则 F ( x )的导数 f ( x )= F′ ( x )，称为 X 的概率密度函数。

连续型随机变量 X 的密度函数 f ( x )具有以下三条基本性质：

1） f ( x )≥0。

2）

3）对任何常数 a < b ，有

车辆耐久性工程在道路载荷数据分析和载荷谱的编制过程中，最重要的随机变量是伪损伤和一些与它等价的量，它是如此之重要，以至于到目前为止还没有来得及介绍这个量，但是在本书的前面就已经几次提到。

1.2.1 伪损伤及一些与之相关的等效量

如图1-1a所示，任意一个时域信号（不管它是左前轮六分力的垂向分量，还是轴头加速度，抑或是减振器的相对位移……），都可以通过所谓的Range Pair计数（将在后面详细介绍这种计数的方式）将较小的幅值循环从随机载荷中分离和计数出来，最终得到这样一个计数结果：幅值是 σ _i 的载荷在被计数的随机时域信号中出现了 n _i 个循环，也就是给出了用二维数组( σ _i , n _i )表示的结构载荷历程。

在此基础上，结合疲劳损伤理论中的Miner线性损伤累积假设，可以将时域信号转化成与损伤相关联的一种数值。Miner线性损伤累积假设不难理解：如图1-1b所示，对一个结构施加单一的恒幅值载荷 σ _i ，根据相应的 S-N 曲线可以知道该结构能够承受 N _i 周次的循环载荷；但是，如果经由Range Pair计数发现某一随机载荷过程中对应于幅值为 σ _i 的载荷实际上一共出现了 n _i 周次，那么，幅值为 σ _i 的载荷造成的损伤 D _i 为 D _i = n _i /N _i 。而这一随机载荷造成的总损伤 D 即为这段随机载荷中大大小小不同幅值的载荷造成损伤的“线性累积”，也就是 。

这种将某一随机载荷向损伤进行的转化是非常粗糙的，因为这里面有太多在进行金属材料和结构疲劳寿命评估时需要考虑的因素都没有考虑在内，因此在车辆耐久性工程领域，习惯于把这种转化生成的与损伤相关联的量值称为“伪损伤”（Pseudo Damage），或者“相对损伤”。

这两个名字取得比较妙。“伪损伤”在于提示和强调这种损伤数值是“伪”的，是假的，把这些数值取倒数，并不对应疲劳寿命结果。在第4章，将详细介绍名义应力法，这是高周疲劳损伤评估中最基础的方法。与“伪损伤”相对，以名义应力法为代表的疲劳寿命评估方法给出的损伤是“真”损伤，或者更严肃地称为“绝对损伤”。对于材料和结构的绝对损伤和疲劳寿命进行评估，给出更为稳健、普适和精确的评估模型和理论，一直是疲劳领域和学界的核心话题之一。

既然伪损伤那么粗糙，那么这种量值的存在还有什么意义呢？“相对损伤”的命名提醒大家，要从“相对”的角度去理解和利用这一计算结果。如图1-2所示，如果让六位驾驶员驾驶同一车辆，在同一路面上各行驶一圈，取得六个数据样本，那么对这六个时域数据样本都进行Range Pair计数，继而计算伪损伤，伪损伤的数值有一个分布和变化，有的大，有的小，这反映了驾驶习惯的变异性。如上所述，从每一个损伤的数值来看，这六个损伤数值都是“伪”的，但是，这六个数值之间的“相对”关系是真实的，也就是说，谁开车比较“费”，谁开车比较“省”，这种相对关系的反映是客观的。究其原因，是在伪损伤的计算过程中，抓住了载荷幅值变化对于材料和结构疲劳寿命影响这个最主要的因素，因此尽管其结果比较粗糙，但是从相对意义上去理解和利用这一信息还是可以的，并会在车辆耐久性工程中发挥巨大的作用。

由于车辆耐久性的设计指标往往关联于某一设计里程，因此常常将一段载荷的伪损伤数值 D 除以这段载荷所对应的行驶里程 L ，并将这一数值称为伪损伤密度 d = D / L ，这样使用起来更加方便。

与伪损伤相关的还有一个常用“变体”——等效幅值。指定一个与疲劳极限定义相关联的周次 n _e ，由于疲劳极限的定义不唯一， n _e 可以是一百万次，也可以是其他数值，有一定的可变性。要计算这样一个幅值：在恒幅值 A _eq 载荷作用 n _e 个周次后，材料和结构累积的（伪）损伤与某一指定过程中累积的（伪）损伤 D 相等（等效），那么这个等效幅值 A _eq 为

式中， k 是采用幂指数形式表达的 S-N 曲线中[式（4-2）]的两个材料参数之一，而( σ _i , n _i )为累积形成伪损伤 D 的载荷历程。

在道路载荷数据分析和载荷谱的编制过程中，究竟是采用伪损伤 D 、伪损伤密度 d ，还是采用以等效幅值 A _eq 为代表的一些变体，不会对分析本身产生实质性的影响，只是在不同的场合、阶段和不同的企业，有一些自己的习惯，以方便工作的开展。

在介绍了“事件”的概念和“伪损伤”的概念后，正式引入车辆耐久性工程中的一类重要随机变量，这一类随机变量具体有很多，如：

X ₁ =车辆累积行驶里程达到设计里程时左前轮垂向六分力对应的伪损伤

类似的：

X ₂ =车辆累积行驶里程达到设计里程时左前轮轴头垂向加速度对应的伪损伤密度

X ₃ =车辆累积行驶里程达到设计里程时左前悬减振器相对位移对应的等效载荷幅值

概括起来，车辆耐久性工程中的一类重要随机变量是：

X _i =车辆累积行驶里程达到设计里程时车辆某处的某载荷对应的伪损伤（或伪损伤密度，或等效载荷幅值……）

可以看到，随机变量 X _i 属于连续型随机变量，是本书讨论的核心，包括获取这一类量值的数据处理方法，以及用到的统计方法。围绕这类变量的讨论不仅贯穿本书的始终，也贯穿了车辆耐久性工程的诸环节。

1.2.2 连续型随机变量的分布及重要例子

1.2.2.1 正态分布

如果一个随机变量具有概率密度函数

则称 X 为正态随机变量，并记为 X ～ N ( μ , σ ² )，这里 μ 和 σ ² 都是常数， μ 可以取任何实数值，而0< σ ² <∞，它们称为这个分布的“参数”，其概率意义和评估方法将在后面说明。

函数（1-11）的图形如图1-3所示，它关于 μ 点对称，而后向两个方向衰减，呈现“两头低，中间高”，这是“正常状态”下一般事物所处的状态。这不但说明了“正态”这个名字的由来，也说明了这种分布的重要性和常见性，体现了大部分事物所遵循的中庸之道。

当 μ =0， σ ² =1时，式（1-11）成为

它是正态分布 N (0,1)的密度函数，称为“标准正态分布”。

不加证明地给出如下重要事实：

若 X ～ X ～ N ( μ , σ ² )，则 。

1.2.2.2 对数正态分布

如果一个随机变量的对数服从正态分布，则称该随机变量服从对数正态分布。

设 X 是取值为正数的连续型随机变量，若ln X ~ N ( μ , σ ² )，则 X 的概率密度为

对数正态分布不一定非要加上以e为底的对数，可以根据需要和习惯灵活选取，不会对相关随机变量的分布特性产生本质的影响。

1.2.2.3 威布尔分布

威布尔分布在可靠性工程中经常用到，因为该分布模型在建立过程中所引入的一个根本假设，往往切中工程中相关现象的本质。

假设一大批电子元器件，其寿命 T 是一个（连续型）随机变量，以 F ( t )来表示 t 的分布函数。现实中的一个直观感受是，东西用的时间越久，越容易损坏。把这样一种直观感受用数学语言严密表达出来就是：电子元器件在某一个时刻 t 的失效率 P 是时间的增函数，即

式中， λ >0， m >0。

下面建立 F ( t )和 P ( t ≤ T ≤ t + h|T > t )的关系：

1）元器件在时刻 t 还可以正常工作，在从 t 时刻起 h 时间段内失效，那么这一期间的平均失效概率 P ( t ≤ T ≤ t + h )为[ F ( t + h ) -F ( t )]。

2）容易理解 P ( T > t )=1 -F ( t )。

3）容易理解，由于{ t ≤ T ≤ t + h }⊂{ T > t }，因此有 P ( t ≤ T ≤ t + h ) P ( T > t )= P ( t ≤ T ≤ t + h )。

在上述三方面的基础上，由条件概率的定义可知：

求解如上微分方程，不难得到

令 m = β -1以及 ，式中， η >0，且当 m >0时须有 β >1，这样式（1-15）变化为

在可靠性工程中，威布尔分布在处理和分析寿命数据方面的应用几乎是最广泛的。主要原因是它的灵活性，易于解释分布参数，以及它们与失效率的关系。

式（1-15）为双参数威布尔分布，其中 β 为威布尔斜率，也称为形状参数。在上述的推导过程中约定 β >1，表征失效率逐渐升高，在现实工程中通常与磨损有关（疲劳失效可以视为“磨损”的一个形式），发生在产品寿命的后期，失效的时间间隔比较接近。如果在产品寿命的早期出现，可能是严重的设计问题。

如果 β >6，此时需要引起注意，它反映的是加速失效和快速磨损，这种现象发生在比较脆弱的零件上，或者有某种形式的腐蚀、旧设备的失效，但是在电子系统上不常见。

如果 β >10，此时需要引起极大的关注。如此高的 β 值并非不可能，但是，在实际工程中极为罕见，它表现的是极高的磨损率。

在实际工程中 β <1的情况也是存在的，它说明失效率逐渐降低，通常属于早期失效或称“早夭”，一般伴随和预示着产品存在设计缺陷。

而 β ≈1时说明失效率为常数，通常发生在产品的寿命中段，可能是随机失效或多种失效模式混合导致的结果。

前面之所以说威布尔分布是“灵活”的，原因在于随着形状参数 β 的改变，威布尔分布可以退化或近似转化为别的分布模型：当 β =1时，威布尔分布退化为指数分布；当 β =2时，威布尔分布类似于瑞利分布；当 β =3.5时，威布尔分布的概率密度函数很接近正态分布。而相对于正态分布的对称性，当 β <3.5时，威布尔分布将“左偏”（概率密度函数的分布“重心”左移）；当 β >3.5时，威布尔分布将“右偏”（概率密度函数的分布“重心”右移）。

双参数威布尔分布中另一个参数 η 称为“特征寿命”，也称为“尺度参数”，它对应总体中63.2%的产品失效的时间。

形状参数 β 和尺度参数 η 的联合作用，将显著影响双参数威布尔分布的形态，相对于正态分布的对称形态来说，威布尔分布有时可以“左偏”（概率密度函数的分布“重心”左移），有时可以“右偏”（概率密度函数的分布“重心”右移），这使得威布尔分布非常灵活。在第2章会谈到和体会到，威布尔分布的这种“灵活性”既给工程技术人员带来了很多便利，也说明在工程实际中处理和面对的可靠性问题往往很复杂，合理地进行处理和量化通常难度很大，要面临很大的挑战。 UgslSfu7nS4Z4/BognGPddgThF1P+35wNQfVY3Cxyg4oDtfAQEBo8LDZVckaS3iz