第十章
算术

关于算术，孩子们拥有很多必要的本能知识，这些知识本身就是孩子们对学习算术的一种准备，也为孩子们对计算形成清晰的概念奠定了基础。

更长、更短、更暗、更亮，这种识别特征和辨别差异的训练是感官训练中实际技巧设计的一部分。而数量的概念已经在感官训练阶段所使用的教具中有所体现了。在做算术练习时，孩子们最初是从物体的特征识别开始的，然后开始进行相似物品的分级、顺序排列练习。

我想特别强调的是圆柱体插件的训练，2 岁半的孩子都可以完成这项训练。如果孩子错误地将圆柱体放到一个明显过大的插孔中，那么就会剩下一个圆柱体没有地方放，这时，他会凭借本能不断地去想，为什么会剩下一个多余的圆柱体找不到自己的位置呢？

我想说明的是，也许孩子们的头脑还没有为那些老师急切给出的数字的基本概念做好准备，但是孩子们却可以通过循序渐进的练习和一个相对缓慢的过程进行自我培养。

如果想直接进入算术教学，我们必须借助感观训练时使用的教具来完成。

让我们看看立体插件练习之后我们向孩子们展示的三组教具，它们分别是：教孩子认识大小的教具（粉红色的立方体，见图 9），教孩子认识厚度的教具（棕色长方体，见图 11），教孩子认识长度的教具（绿色或红蓝相间颜色的长棒，见图 12）。

每个系列的 10 件教具之间都存在一定的联系。

在教孩子们认识长度的教具中，最短的那根长棒是其他长棒的基础测量单位，第二根长棒的长度是第一根长棒长度的 2 倍，第三根长棒的长度是第一根长棒长度的 3倍，以此类推。这样一来，虽然每根长棒增长了 10 厘米，但其他维度的尺寸保持不变，即所有长棒的截面一致。

这些长棒之间保持着一定的联系，这种联系与数字的自然序列 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 相同。

第二组教具是帮助孩子认知物品厚度的，长方体的长度保持不变，但是长方体的正方形切面会发生变化。正方形切面的边长随着自然计数的序列而发生变化。例如，第一个长方体的正方形切面的边长是 1厘米，第二个长方体的正方形切面的边长是 2厘米，第三个长方体的正方形切面的边长是 3 厘米，以此类推，第十个长方体的正方形切面的边长是 10 厘米。

因此，长方体之间的比例与平方数序列是相同的（1，4，9，等等）。第一个长方体的边长是 1 厘米，那么 4 个这样的长方体可以构成边长为 2 厘米的第二个长方体；9 个这样的长方体，可以构成边长为 3 厘米的第三个长方体，以此类推。因此，这组用于帮助孩子们认知厚度的教具，具有以下的比例关系：1∶4∶9 ∶ 16 ∶ 25 ∶ 36 ∶ 49 ∶ 64 ∶ 81 ∶ 100。

粉红色立方体的边长是根据数字排列顺序递增的，例如，第一个立方体的边长是 1 厘米，第二个立方体的边长是 2 厘米，第三个立方体的边长是 3 厘米，以此类推，第十个立方体的边长是10 厘米。因此，这些立方体之间的体积关系是从 1 到 10 的立方乘积之比，即 1∶ 8∶ 27∶ 64∶ 125∶ 216∶ 343∶ 512∶ 729∶ 1000。

实际上，8 个边长为 1 厘米的第一个粉红色立方体可以组成1 个边长为 2 厘米的第二个粉红色立方体，27 个边长为 1 厘米的第一个粉红色立方体，可以组成边长为 3 厘米的第三个粉红色立方体，等等。

孩子们天生就有对事物进行区分的能力，他们能意识到粉红色立方体的相关练习是三套练习中最容易的，而绿色长棒的相关练习则是最难的。

当我们开始用长棒教具进行算术教学的时候，我们要选择比较长的木棒，但是需要对它们进行一些改动。比如，将它们分成10 个部分，每个部分的长度均为 10 厘米，并且要把这些长棒涂成绿色或蓝红相间颜色的样子。譬如，对于是第一根长棒的 4 倍长度的长棒，要让孩子们很容易看出它是由 4 根相同长度的木棒构成的，它们呈现红蓝相间的颜色，其他的木棒也都如此。

当我们将这些长棒按顺序摆好之后，我们就可以教孩子们计数了，让孩子们边 1、2、3 地数数边用手点着这些长棒。然后，为了让他们获得清晰的计数概念，我们还会使用前面提到的“三阶段”方法，让孩子们从单个的小木棒开始识别。（见图 42）

我们在孩子们面前摆放好三根木棒，指着它们，或者依次将木棒握在手中，为了让孩子们更好地理解，我们可以详细地讲解：“这是 1 个。”“这是 2 个。”“这是 3 个。”

为了帮助孩子们对数字有一个清晰的认识，我们要指着每根木棒的分割线来数数，一边数，一边跟孩子们确认：“1，2，这是 2。”“1，2，3，这是 3。”然后我们跟孩子们说：“把 1 给我。”“把 2 给我。”“把 3 给我。”接下来，我们要向孩子们提问，指着其中的一根木棒（木棒是 3），问孩子：“这是几？”这时，孩子会回答：“这是 3。”然后我们一起跟孩子们数：“1，2，3。”

我们可以用同样的方法按顺序教孩子们计数，根据孩子们的表现，每次在原有的基础上增加一根或者两根木棒。

这个教具的最大价值在于，它可以清晰且直观地为孩子们呈现出“数”的概念。因为它将“数”这个概念和一个真实存在的物体结合在了一起。当我们说一个人是百万富翁时，我们的意思是，他拥有的财富可以用“100 万”这个价值衡量单位来衡量。所以，如果我们在数字 8 的基础上加上 7，也就是在一个数的基础上加上另一个数，那么一定是因为这些数都可以用同样的衡量单位来代表。

同样，当孩子们给我们演示 9 这个数的时候，他们的手里拿了一根木棒，这根木棒本身是完整的、不易弯曲的，它是由用于计数的 9 根同等长度的小木棒组成的。

当孩子们计算“8+2”这个加法的时候，他们会将两根木棒连接好摆放在一起，其中一根木棒是由 8 根同等长度的小木棒组成的，另外一根木棒是由 2 根同等长度的小木棒组成的。

然而，在一些普通的学校里，老师在教孩子们计数时，为了让计数更简单，他们会给孩子们不同的物品，比如豆子或者弹球。在涉及刚才我们提到的“8+2”这个计算时，老师会让孩子们先拿出 8 个弹球，然后再添加 2 个弹球，虽然最终得到的计算结果是一致的，但是在孩子们的头脑中，他们并不是把数字 8 和 2 加在了一起，而是进行了一次 1+1+1+1+1+1+1+1 和 1+1 的运算。

这个计数方式对孩子们来说并不是十分清晰，孩子们还需要努力记住这个概念：8 个弹球是作为一个整体的，对应一个数字“8”。

上述的计数方式，会阻碍孩子们在数字理解方面的进步，时间可能会是几个月，甚至是数年。

帮助孩子们认识长度的教具，在教孩子们 10 以内的加减法的时候也可以使用，而且会让过程变得非常简单。让孩子们摆放木棒，这会让孩子们的学习变得更加有趣味性。具体可以这样做：让孩子们先把木棒按正确顺序摆好（长度依次递减）。然后，让他们将最后一根小木棒 1 拿起放在 9 旁边，接着让他们把 2 拿起放到8 旁边，以此类推，直到剩下 5 为止。

这个简单的游戏展示了 10 以内的加法运算：9+1，8+2，7+3，6+4。当孩子们要把小木棒放回原位的时候，他们必须先将4 拿走，并且将它放在 5 的下面，然后依次拿走 3、2、1。在此期间，孩子们不仅将小木棒再次放回了原位，还进行了一系列减法运算：10-4，10-3，10-2，10-1。

教孩子们数字的应用和运算，标志着孩子们在木棒游戏中使用独立单位进行计算的一个飞跃。

当孩子们掌握了这些数字后，他们就可以在抽象领域里运用这些数字。当然，这些抽象的数字是通过之前那些具体的小木棒练习掌握的。也就是说，数字代表一定数量的独立单位，并且可以组成一个整体。可以这样说，语言的综合功能和它为人类智慧所开启的广阔领域和收获的丰硕成果都可以通过数字来展示。而现在这些数字可以代替木棒了。

现有的木棒会将算术的范围限制在 10 以内或者数字稍大一点儿的简单运算中，并且对孩子们的思维构建来说，这些运算与简单的初级感知教育相比只稍微进步了一点点。

数字本身也是一种语言，一个图形符号，它能使人的数学思维在其进化的过程中取得无限的进步。

接下来我们使用的教具是一盒光滑的卡片，上面粘着 1 ～ 9的数字，这些数字由砂纸制成。这与之前粘有砂纸的字母卡片类似。我们采用的教学方法也与之前的类似：孩子们一边用手指顺着数字书写的方向触摸数字，一边在触摸的同时念出数字的名称。

在这样的教学中，孩子们要做的事情比较多，老师会给他们做示范。孩子们能看到老师如何将每一个数字放到与它们相对应的木棒上面。当所有的数字都以这样的方式被掌握之后，孩子们最先要做的练习就是把数字卡片放在按照阶梯顺序摆放好的木棒上面。这样摆放好之后，整个教学过程就变得连贯且有条不紊了。孩子们会乐在其中，并且也愿意花长时间重复这个智力游戏。

在这个练习之后，我们会让孩子们进行“自由”练习。因为他们已经掌握了一些数字，并且知道如何使用数字，以及如何将学习到的这些数字组合在一起。

为了达到这样的目的，我们还准备了一套木棒教具。同时，我们还会给孩子们准备各种各样的小物件，比如木钉、小积木、筹码等。

练习的内容是在数字的对面放上与数字对应数目的木棒。孩子们在进行这项训练的时候，可以使用教具中的计数盒子来做这个练习。（见图 43）

这个盒子里有很多小格子，小格子的内侧写着数字，孩子们会将与数字等量的木棒放入相应的小格子里。还有一个练习是将所有数字卡片放在桌子上面，然后将与数字对应数目的积木、筹码等放在数字的下面。

以上这些练习只是第一步，是初级阶段的内容，后续更复杂的关于数字运算方面的内容，请参阅我撰写的其他相关内容的书。接下来，我们看一下那个装着木棒的盒子。在放有木钉的盒子里，有一个小格子上面印着 0 这个数字。这个格子里什么都不可以放，然后我们从 1 开始计数。

0 代表什么都没有，但是将它放在 1 的旁边，就可以让我们在计数超过 9 之后，继续数下去到 10。接着可以数到 20、30、40、50、60、70、80、90。

在下面这个教具中，我们有一些框架，这些框架里有一些卡片，我们在卡片上面印着从 10 到 90 的整位数字（见图 44）。

这些数字被固定在框架上，数字 1 到 9 可以滑动遮住数字0。数字 10 的 0 被 1 遮住，就会显示出数字 11。如果数字 10 的0 被 2 遮住，就会显示出数字 12。以此类推，直到最后一个数字9。然后，我们转到数字 20（第二个 10），我们可以用这种方式从 10 数到 99。

刚开始用卡片练习组合这些数的时候，我们可以使用小木棒来练习。我们先从框架的第一个 10 开始，即先拿木棒 10。然后我们将木棒 1 放到木棒 10 的旁边，同时，滑动数字 1 遮住 10 的 0。

接着，我们将木棒 1 和数字 1 从框架中拿走，把木棒 2 放在木棒 10 的旁边，然后将数字 2 放在框架中 0 的上面，以此类推，直到数字 9。

最后，为了做进一步的练习，我们需要用两根木棒 10 来组成20 这个数字。

孩子们在做这些练习时，表现出了极大的热情，这些练习能让他们做这两种活动，并使他们在活动过程中保持头脑清晰。

在写作和算术方面，我们积累了丰富的教育成果，这不仅可以有效地帮助孩子们协调他们的肢体，同时还能让他们获得对这个世界的初步认识。这正是一个人首次努力地让自己与世界产生智能交流所获得的自然结果。

如果不通过书写语言和数字进行强化训练，孩子们早期获得的这些知识很容易就会被忘掉。而一旦这些孩子学会书写和数字组合，那么这些经历将会为他们未来接受的教育提供无限的可能和广阔的前景。

因此我们要做的就是带领孩子们进入一个更高水平（文化水平）的领域，即让孩子们进入学校学习。但这里所说的学校并不是我们现今所见的对孩子们进行硬性教育的学校。在那些学校里，老师不理智地想将文化知识传递给那些还没有做好准备，也没有做好训练去接受这些学习内容的孩子。

为了保护孩子们的头脑健康，我们可以训练孩子们的头脑，但是不会让他们对日常的练习产生厌倦。我们的孩子需要一种新型的学校，孩子们在那里可以更好地获取文化知识。

我针对更大年龄阶段的孩子进行过一些实验，且对他们使用的教学方法是现在这种教学方法的延续，这些方法可以说已经非常先进了。 rFbtXZ7AmLKy0cSCDq8KkS154tFTjekHv8qfKCCXUScBw/XfBN2JSjrN02o2py4Z