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布朗运动轨迹具有分形的特点，即具有统计自相似性。分形布朗运动是描述自然界中随机分形的一种最典型的数学模型，常用的方法是基于灰度值的统计法和基于表面积的统计法，称为灰度统计法和表面积法。
灰度统计法直接应用图像的灰度值，统计行和列方向（二维）灰度值变化（差值）在不同尺度的变化，如果这个变化规律符合分形布朗运动，就表明统计区域具有分形特征。因此可利用分形布朗运动模型来求取分数维。普通的灰度统计法没有考虑尺度变换对图像的影响，而改进的灰度统计法考虑了尺度变换对灰度差值的影响。
表面积法是将灰度图像表面看成一个空间曲面（一维），通过不同尺度下空间曲面面积数值的变化利用分形布朗运动函数来求解分数维。
基于2011年Landsat-TM遥感图像，分别用普通分形布朗运动法（未考虑尺度变换影响）、改进分形布朗运动法（考虑尺度变换影响）、基于面积的分形布朗运动法估算了北京地区500 m×500 m逐网格的城市下垫面分数维，并进行了比较分析（刘勇洪等，2015）。
图3.3.1为用不同分数维算法计算的北京区域分数维。普通分形布朗运动法（br1，未考虑尺度变换影响）的结果明显不如改进分形布朗运动法（br2，考虑尺度变换影响）和基于面积的分形布朗运动法（area），后两种算法结果基本一致，能基本上体现北京城市下垫面结构的复杂程度。图3.3.2为改进分形布朗运动法br2计算的北京主城区分数维空间分布，结合图3.3.3和图3.3.4分析可知，北京六环区域及郊区县城地表非均匀特征明显，分数维一般在2.50以上，典型地物类型的分数维高低顺序为商业区＞大型居民区＞城市绿地＞农田＞林地＞水体；北京城市中心（二环内）存在一个分数维相对低值区，二环四环之间区域分数维普遍较高，在2.70以上，五环以外分数维则不断降低，远郊农田及山区林地非均匀程度明显较低，反映出北京城市下垫面不均匀性程度从中心向外是一个低高低的空间分布状态；北三环北五环之间的分数维明显高于南三环南五环之间区域，反映出北京城市的北部与南部发展的不均衡性。就各种下垫面类型平均分数维分布来看，建筑用地、绿地、未利用地、农田、林地和水体的分数维分别为2.71，2.62，2.55，2.38，2.30和2.28，分数维值的高低反映了各种下垫面类型的非均匀程度。
图3.3.1 三种不同算法下的北京下垫面500 m×500 m逐网格分数维
图3.3.2 北京主要城区2011年分数维空间分布
图3.3.3 北京平原2011年不同区域分数维
图3.3.4 北京地区2011年不同土地利用类型分数维
同时开展了北京典型下垫面类型分数维的估算。基于2011年Landsat-TM遥感图像，采用考虑尺度变换的灰度统计法估算北京典型下垫面类型的分数维。
表3.3.1中各种典型地物类型范围为400列*400行（10 km×10 km），分数维都超过了2.50，都存在较高的不均匀性。其中朝阳CBD分数维最大（2.9847），这是由于存在参差不齐的大面积商业写字楼，下垫面复杂程度最高；其次回龙观小区（2.9054），存在大量密集的居民建筑和少部分绿地，不均匀程度也较高；第三是城市绿地（2.8196），由于存在较大面积的绿地公园和部分建筑，不均匀程度居中；第四是大兴农田（2.8184），第五是山区林地分数维（2.7435），最小的是密云水库（2.5764）。大兴郊区农田由于村镇分布较多，农田小而分散，估算的分数维较高，也高于山区林地，而密云水库主要以水体为主，地物类型相对单一、均匀，分数维最低。分数维值高低反映了该类型的复杂度与不均匀性，分数维值越大，该类型越复杂，不均匀程度越高，可以看出按不均匀性程度高低顺序北京各种典型地物类型为：商业区＞居民区＞城市绿地＞农田＞林地＞水体。
表3.3.1 北京市2011年夏季遥感图像上典型地物类型的分数维
基于Landsat-TM遥感图像，应用盒维数法中的面积半径法估算了北京不同时间的城市分数维。根据分数维的结果，确定了北京不同发展历史时期的城市边界范围。
2011年北京城区面积随距离（距天安门）的变化及分数维确定，其中城区面积由LandsatTM遥感图像估算。
①以天安门为中心，北京1978年、1990年、2000年和2011年等四个时期的城市空间范围半径分别为7.5，10.5，14.5，16.0 km，城市扩展经历了由高密度建筑向低密度空间结构逐渐变化的过程（图3.3.5）。
图3.3.5 北京不同时间及2011年不同方向区域城市范围
② 1978，1990，2000和2011年城市半径维数分别为1.9519，1.9594，1.9619和1.9593，各时期的城市形态半径维数均在1.95以上，表明北京城市空间布局总体呈高密度建筑状态，反映出城市用地的紧张和人—地关系的不协调，2000年以后城市形态半径维数呈下降趋势，反映出城市人地关系正在逐步改善（图3.3.6）。
图3.3.6 北京2011年不同方向区域城市半径维数随环带（距离）的变化
③北京城市空间拓展在各个方向处于不均衡状态，至2011年北京城市空间拓展范围各方向依次为西南19.5 km、东北16.0 km、东南15.0 km和西北14.0 km；而与城市扩展范围大小并不一样，受西北山区地形和中关村科技园区发展影响，西北方向建设用地密度最高，且建设用地密度从中心向外呈增加趋势，反映出西北方向城市发展的不可持续性；其次受丰台城镇化影响，西南的建设用地密度仅次于西北，且经历了城市建设用地密度由减小—增加—减小的变化，而东南建设用地密度第三，东北最低，建设用地密度均呈持续减少趋势，反映出这三个方位城市发展具有可持续性。
城市下垫面的复杂性是限制城市边界层预报准确率的主要原因。目前数值预报模式中城市地表信息源于地表不透水率，低密度住宅区、高密度住宅区和商业区，其不透水面积占比阈值分别为0.5，0.9和0.95，它只能包含城市下垫面的二维信息，不能描述城市下垫面的垂直特征（Kusaka et al.，2011；Martilli et al.，2020）。分数维作为能够描述城市下垫面特征的量度（刘勇洪等，2015），与不透水率相结合，从而更准确地描述城市非均匀下垫面的三维特征。
图3.3.7（a）和（b）分别为北京城区建筑物高度和分数维的分布，分数维越大的地方建筑物越高，分数维的分布与城市建筑物高度分布相关系数为0.85，可见分数维能够较好表征城市下垫面在垂直方向上的差异特征。
图3.3.7 北京城区
（a）建筑物高度测绘数据（单位：m）；（b）分数维水平分布
基于分数维将城市下垫面按照建筑物高度分为三类：分数维2～2.4为低建筑物类型、分数维2.4～2.55 为中建筑物类型、分数维2.55～3为高建筑物类型（图3.3.8），即定义基于分数维的建筑物高度指数，将模式中所有与建筑物高度相关的城市冠层参数更改为分数维的函数，其他参数为不透水率的函数（表3.3.2）。
图3.3.8 基于分数维图的城市建筑物高度分类（9代表低建筑物类型，平均高度为9 m；13代表中建筑物类型，平均高度为13 m；17代表高建筑物类型，平均高度为17 m）
表3.3.2 基于WRF模式默认（Kusaka et al.，2011；Martilli et al.，2020）和基于分数维（Li et al.，2017）定义的城市冠层参数表
设置DEF和NEW两种试验，DEF试验即为利用地表不透水率定义城市下垫面类型的模式，NEW试验为引入分数维与地表不透水率相结合来描述城市下垫面特征。选择2012年8月24日晴天个例，预报时效为24小时。模式中引入分数维后，模式对2 m温度的预报效果提高，其分布与实况更加接近，即二至四环之间温度较其他地区高（图3.3.9），10 米风速的模拟误差增加但其分布状况与实况接近，即二至四环之间风速较其他地区偏小，这与建筑物的分布相对应。
图3.3.9 2 m温度分布图
（a）DEF试验；（b）NEW试验
同时选择该月7个晴天个例进行模拟统计，研究表明城区2 m温度的均方根误差减小6％，10 m风速的模拟效果没有改进，但是其空间分布与实况更加接近。降水对城市下垫面非常敏感，引入分数维后城区西侧降水明显增加，24 小时增加量可达40 mm，由此可知模式中城市非均匀下垫面信息对降水预报的重要性。