3.2 二维Grad-Shafranov方程

所谓Grad-Shafranov方程（G-S方程）是当考虑压强梯度力和磁力平衡且磁场存在对称性时，标量函数ψ所满足的微分方程，亦即磁场存在对称性时的磁静平衡方程。

先导出直角坐标系（x，y，z）中的G-S方程。若 =0，由磁场无源条件，可选取标量函数A（x，y），则 = = ， =- =- ，即可得磁场 的表达式为

由安培定律可得

将 和 代入平衡方程（3.1-3）式，即 = ，可得

由（3.2-5）式可得

将（3.2-6）式代入（3.2-3）和（3.2-4）式，可得

即上述平衡方程为

该式即为直角坐标系中的G-S方程。

下面导出对于环形（toroidal）结构，即对于像torus或tokamak类这类轴对称系统，有 =0， = ， = + 时的G-S方程。

因 =0，由磁场无源条件，得

式中ψ为通量函数，ψ=ψ（R，z）。代入安培定律 = × ，可得

将B _R 和B _z 代入 可得

即

式中

将（3.2-9）和（3.2-10）式代入平衡方程 = × ，得

由（3.2-13b）式得

将（3.2-14）式代入（3.2-13a）和（3.2-13c）式可得

将（3.2-15）、（3.2-9c）和（3.2-10c）式代入（3.2-13a）式可得

式中F=RB _ϕ 。将j _ϕ 代入（3.2-11）式即可得环形结构下ψ所满足的二维Grad-Shafranov方程

其中F（ψ）=RB _ϕ （ψ）。由（3.2-10c）式积分后可得

则

（3.2-17）式中 的定义见（3.2-12）式。如果给定了p（ψ）、B _ϕ （ψ）或者I（ψ）（3.2-18）式的具体函数形式，加上合适的边界条件，就可以从Grad-Shafranov方程求解出ψ=ψ（R，z），而ψ（R，z）=常数的空间曲面就是相互叠套的环形磁面。关于球坐标系下二维无力场的Grad-Shafranov方程可见下节（3.3-39）式。 8haZ3BXmaDd7kTIXwDiu/jUXuo8C21NWxzEWWyS/N/8yDpGxH+VlrhIm7hh/YTmL