2.1 Kelvin尾迹流场模型

2.1.1 船行波基本特征

作为舰船尾迹各波浪组成中最经典的波系，Kelvin尾迹一般可用线性波浪的势流理论解释。假设舰船为在无黏性、不可压缩流体中运动的刚体，海水运动无旋。舰船尾迹在自由水面的波高 z _Kelvin 和速度 U _s 可用其速度势 Φ _Kelvin 表示：

类似于线性叠加模型，尾迹波浪也可以表示为各频率方向的单色波叠加：

式中，相位 Ψ 不再是随机数，且 F 可表示为舰船参数相关的函数。鉴于尾迹关于 x 轴对称，且 F 在±π/2附近剧烈振荡，设舰船特征函数 A _k （ ω ， θ ）=2 F （ ω ， θ ），其中 ω 为波浪角频率，则式（2-3）可简化为-π/2到π/2之间的积分，并将三角函数以指数形式表示，则舰船Kelvin尾迹波高可表示为以下形式：

式中，Re表示取实部，对于以舰船为参照物的固定坐标系，设舰船沿 x 轴运动（如图2-1所示），可作 x = x _s + U _s t 替换，

则自由表面波保持稳定需要满足以下关系：

式中， U _s cos θ 为Kelvin尾迹波浪的相速度。深水条件下，根据重力波色散关系：

代入式（2-6），则所有波矢量应满足：

易得Kelvin尾迹各分量波长满足以下关系：

式（2-9）被广泛应用于尾迹遥感图像对海面舰船速度的估算。

剔除波高关系式中不满足色散关系的单色波分量，并转换至全局坐标系，则有：

2.1.2 Kelvin尾迹波高场

针对Kelvin尾迹的特征函数 A （ θ ），Havelock ^[2] 提出可用船首和船尾对应的两处点源对船体的波动效应进行近似，该方法实现简单，可以较好描述船速和尾迹的关系，但忽略了船体的整体形状。此处采用基于势流的细船理论（Thin-ship Theory） ^[3] ，将船体影响用中心面上强度变化的点源近似，对于抛物型船体远场尾迹，Tuck等人给出了如下形式的特征函数 ^[4] ：

式中，

式中， f （ x ， z ）为船体吃水部分的偏移，可写作如下抛物线形式：

这里 L 为船体长度， B 为船体宽度， T 为吃水深度。

将式（2-12）～式（2-14）代回式（2-11），最终可得：

当式（2-15）中 k _r L ＞＞1时，可忽略方括号内第二项并将式（2-15）进一步简化为Havelock点源模型。

根据式（2-2）可推出流体速度势：

式（2-16）积分中的被积函数具有严重的振荡特征，直接进行数值积分存在一定的难度。为了方便计算，通过变量替换 ，可得速度势的简化表达式：

式中，

其中， 是基于船体长度的Froude（弗劳德）数。因此舰船尾迹的速度场可以通过式（2-17）分别对 x 、 y 和 z 求偏导得到：

2.1.3 Kelvin尾迹仿真结果

根据上面给出的Kelvin尾迹模型，对运动舰船的Kelvin尾迹波高场进行仿真，其结果如图2-3所示。表2-1列出了仿真中所用舰船的几何结构参数，在仿真中航向定义为舰船运动方向与 x 轴方向的夹角。仿真场景大小为256m×256m，以1m间隔进行离散。

图2-3（a）和图2-3（b）对应的船速分别为5.0m/s和8.0m/s，航向为0°。从图中可以看出，Kelvin尾迹由横断波和扩散波组成，而且尾迹波形具有明显的周期性，并与舰船运动速度关系很大。随着风速的增大，Kelvin尾迹的波长明显变大，波高也相应地增加。考虑到在实际雷达观测时，航向与雷达视向都会存在一定的夹角，图2-3（c）和图2-3（d）给出了船速为8.0m/s、航向为45°时的尾迹波高，其中图2-3（d）叠加了风速为4.0m/s的海面波高。可以发现，在没有海浪波时，舰船Kelvin尾迹相对于航向完全对称；而当尾迹叠加在海面上时，会受到海浪波起伏的作用，一方面影响到尾迹波的对称性，同时尾迹看起来也没有那么明显。

理论上，当舰船以速度 U _s 运动时，产生的尾迹波的波长为 ^[4]

式中， θ 表示波传播方向与舰船运动方向的夹角。从图2-3（a）和图2-3（b）中分别截取 y =0对应的一维Kelvin尾迹波形，此时尾迹波主要为横断波分量， θ =0°，对比结果如图2-4所示。图中风速5.0m/s时的波长为16m，理论计算值为16.03m；风速8.0m/s时的波长为41m，理论计算值为41.03m。可见，仿真的结果很好地吻合了理论计算值，这也验证了仿真结果的正确性。