作为舰船尾迹各波浪组成中最经典的波系,Kelvin尾迹一般可用线性波浪的势流理论解释。假设舰船为在无黏性、不可压缩流体中运动的刚体,海水运动无旋。舰船尾迹在自由水面的波高 z Kelvin 和速度 U s 可用其速度势 Φ Kelvin 表示:
类似于线性叠加模型,尾迹波浪也可以表示为各频率方向的单色波叠加:
式中,相位 Ψ 不再是随机数,且 F 可表示为舰船参数相关的函数。鉴于尾迹关于 x 轴对称,且 F 在±π/2附近剧烈振荡,设舰船特征函数 A k ( ω , θ )=2 F ( ω , θ ),其中 ω 为波浪角频率,则式(2-3)可简化为-π/2到π/2之间的积分,并将三角函数以指数形式表示,则舰船Kelvin尾迹波高可表示为以下形式:
式中,Re表示取实部,对于以舰船为参照物的固定坐标系,设舰船沿 x 轴运动(如图2-1所示),可作 x = x s + U s t 替换,
则自由表面波保持稳定需要满足以下关系:
式中, U s cos θ 为Kelvin尾迹波浪的相速度。深水条件下,根据重力波色散关系:
代入式(2-6),则所有波矢量应满足:
易得Kelvin尾迹各分量波长满足以下关系:
式(2-9)被广泛应用于尾迹遥感图像对海面舰船速度的估算。
剔除波高关系式中不满足色散关系的单色波分量,并转换至全局坐标系,则有:
针对Kelvin尾迹的特征函数 A ( θ ),Havelock [2] 提出可用船首和船尾对应的两处点源对船体的波动效应进行近似,该方法实现简单,可以较好描述船速和尾迹的关系,但忽略了船体的整体形状。此处采用基于势流的细船理论(Thin-ship Theory) [3] ,将船体影响用中心面上强度变化的点源近似,对于抛物型船体远场尾迹,Tuck等人给出了如下形式的特征函数 [4] :
式中,
式中, f ( x , z )为船体吃水部分的偏移,可写作如下抛物线形式:
这里 L 为船体长度, B 为船体宽度, T 为吃水深度。
将式(2-12)~式(2-14)代回式(2-11),最终可得:
当式(2-15)中 k r L >>1时,可忽略方括号内第二项并将式(2-15)进一步简化为Havelock点源模型。
根据式(2-2)可推出流体速度势:
式(2-16)积分中的被积函数具有严重的振荡特征,直接进行数值积分存在一定的难度。为了方便计算,通过变量替换
,可得速度势的简化表达式:
式中,
其中,
是基于船体长度的Froude(弗劳德)数。因此舰船尾迹的速度场可以通过式(2-17)分别对
x
、
y
和
z
求偏导得到:
根据上面给出的Kelvin尾迹模型,对运动舰船的Kelvin尾迹波高场进行仿真,其结果如图2-3所示。表2-1列出了仿真中所用舰船的几何结构参数,在仿真中航向定义为舰船运动方向与 x 轴方向的夹角。仿真场景大小为256m×256m,以1m间隔进行离散。
图2-3(a)和图2-3(b)对应的船速分别为5.0m/s和8.0m/s,航向为0°。从图中可以看出,Kelvin尾迹由横断波和扩散波组成,而且尾迹波形具有明显的周期性,并与舰船运动速度关系很大。随着风速的增大,Kelvin尾迹的波长明显变大,波高也相应地增加。考虑到在实际雷达观测时,航向与雷达视向都会存在一定的夹角,图2-3(c)和图2-3(d)给出了船速为8.0m/s、航向为45°时的尾迹波高,其中图2-3(d)叠加了风速为4.0m/s的海面波高。可以发现,在没有海浪波时,舰船Kelvin尾迹相对于航向完全对称;而当尾迹叠加在海面上时,会受到海浪波起伏的作用,一方面影响到尾迹波的对称性,同时尾迹看起来也没有那么明显。
表2-1 舰船几何结构参数
图2-3 舰船Kelvin尾迹波高场仿真结果
图2-3 舰船Kelvin尾迹波高场仿真结果(续)
理论上,当舰船以速度 U s 运动时,产生的尾迹波的波长为 [4]
式中, θ 表示波传播方向与舰船运动方向的夹角。从图2-3(a)和图2-3(b)中分别截取 y =0对应的一维Kelvin尾迹波形,此时尾迹波主要为横断波分量, θ =0°,对比结果如图2-4所示。图中风速5.0m/s时的波长为16m,理论计算值为16.03m;风速8.0m/s时的波长为41m,理论计算值为41.03m。可见,仿真的结果很好地吻合了理论计算值,这也验证了仿真结果的正确性。
图2-4 一维Kelvin尾迹波形