数学与模型

经济学模型包含着清晰阐述的假设和行为机制。因此，它们选择了使用数学语言。翻开任何一本经济学期刊，你都会发现几乎无数的方程式和希腊字母。以物理学的标准来看，经济学家运用的数学不是很高级，因为对于大多数经济学理论分析而言，基本的多元微积分和最优化知识通常就足够了。尽管如此，经济学运用的数学形式的确需要读者有一定的准备。它在经济学和大多数其他社会科学之间树起了相互理解的壁垒。这也凸显了非经济学家对经济学的怀疑：数学使经济学家仿佛脱离了现实世界，活在他们自己创造的抽象世界里。

当我还是个大学生时，我知道我想要获得一个博士学位，因为我喜欢写作和研究。但我对很多社会现象都有兴趣，无法在政治学和经济学之间做出抉择。这两个学科的博士培养项目我都申请过，但我最终加入了一个跨学科的硕士培养项目，从而推迟了最终的决定。我至今仍清晰地记得，是什么最终结束了我的犹豫。我在普林斯顿大学伍德罗·威尔逊学院的图书馆里，拿起了最新一期的《美国经济评论》和《美国政治评论》，分别是这两门学科的旗舰刊物。把两份刊物放在一起看，我意识到，如果我有经济学博士学位，我也能阅读《美国政治评论》，但如果我有政治学博士学位，《美国经济评论》上的很多内容我就完全无法理解。现在回过头来看，我也意识到，这个结论也许不那么正确。撇开数学不论，《美国政治评论》上的政治哲学文章，可能和《美国经济评论》上的任何文章一样深奥。而且，政治学后来也大量借鉴了经济学路径，应用了数学方法。尽管如此，我当时的观察仍代表了部分真相。直到今天，在社会科学领域，经济学仍大体上是独一无二的若不接受必需的研究生训练，就几乎完全无法理解的学科。

经济学家运用数学的理由常常被人误解。这不是为了把事情弄得曲折复杂，或者宣称要掌握更高的真理。基本上，经济学运用数学是出于两个考虑——清晰与连贯，都与追求荣耀无关。首先，数学确保了模型的各种因素，包括假设、行为机制、主要结论等，都是明确阐述和清晰的。一旦一个模型以数学形式表达出来，对于任何能看懂它的人来说，其含义或用途就是明晰的。清晰性具有很大的价值，但往往被人忽视。直至今天，关于卡尔·马克思、约翰·梅纳德·凯恩斯或约瑟夫·熊彼特到底说了什么，我们依然有无穷的争论。尽管三人都是经济学巨匠，但他们基本上（不是完全）是以文字方式阐述其模型的。相比而言，关于保罗·萨缪尔森、约瑟夫·斯蒂格利茨或肯尼斯·阿罗在阐述他们获得诺贝尔经济学奖的理论时，心里是怎么想的，并没有引起任何争论。经济学模型要求一切细节都要明确。

数学的第二个价值是确保模型的内在连贯，简单说，就是能从假设中推导出结论。这是一个看似平凡却不可或缺的贡献。一些主张足够简单，不言自明；另一些主张则需要谨慎对待，尤其是因为我们的认知偏向有时可能让自己接受想要的结论。有些时候，模型的结论是明显错误的。但更经常出现的情况是，论据并未得到很好的说明，一些关键假设被忽略了。在这种情况下，数学就是有用的检验方式。前凯恩斯时代的经济学巨人、第一本真正的经济学教科书的作者阿尔弗雷德·马歇尔，就有一条好法则：把数学作为一种速记语言，将论证翻译成文字，然后把数学烧掉！或者，就像我跟学生说的，经济学家运用数学不是因为他们聪明，而是因为他们不够聪明。

当我还是个年青的经济学者时，我听过伟大的发展经济学家、1979年诺贝尔经济学奖得主阿瑟·刘易斯爵士的一次演讲。刘易斯有一种神秘的能力，他能运用简单的模型，提炼出复杂的经济关系的精髓。但像许多有更老传统渊源的经济学家一样，他也倾向于以文字而非数学方式表达观点。他那次演讲的主题是，什么决定了穷国的贸易条件，即出口价格与进口价格之比。当刘易斯结束演讲时，听众中一位更年轻、更数学导向的经济学家站起来，在黑板上草书了几个方程式。他说，他一开始对刘易斯教授讲的东西感到疑惑。但在刘易斯不解的注视下，他继续说，现在他明白了：这三个方程式可以决定这三个未知因素。

可见，数学在经济学模型中扮演着纯粹的工具性角色。理论上，模型不需要数学，模型的有用性或科学性也不依赖于数学。 如阿瑟·刘易斯的例子说明的，一些一流经济学家根本就不怎么用数学。托马斯·谢林提出了现代博弈论的一些核心概念，如可信性、承诺、威慑力等，而他是以基本上不使用数学的研究赢得诺贝尔经济学奖的。 ^[1] 谢林有一种罕见的天赋：只使用文字和现实例证，最多是图表，就把策略思维者之间的互动以相当复杂的模型展现出来。他的著作对学者和决策者都产生了巨大的影响。不过我必须承认，只有在以数学方式完整展现他的观点和论证之后，我才彻底明白其观点的深度和论证的精确性。

非经济学的社会科学用得更多的是非数学模型。当一位社会科学家说“我们假设……”或者类似的话，然后提出一个抽象概念时，我们总是可以断定，他准备运用模型了。例如，社会学家迭戈·甘伯塔（Diego Gambetta）在要考察对知识性质的不同认识所造成的结果时，是这么说的：“假设有两个理想类型的社会，仅在一点上有区别……” ^[2] 政治学论文里经常提到各种因变量与自变量，这显然说明，作者虽然不使用明确的模型框架，但依然在模仿模型。

看起来直观的文字论证，在更严格的数学审视之下，经常是失败的，或者是不完整的。原因在于，“文字模型”常会忽视不明显但可能很重要的相互作用。例如，许多经验研究发现，政府干预和产业表现之间有负相关关系，获得补贴的产业的生产率增速低于其他产业。很多人，甚至经济学家，也会这么推理：政府一定是基于错误而非正确的理由进行了干预，是在政治游说下支持弱势产业的。这也许听上去很合理，显而易见，甚至不需要进一步的分析。但是，如果我们以数学方式描述政府基于正确理由干预（通过补贴产业来提高经济效率）时的行为，我们会发现，上述推论可能不成立。因市场机制不健全而表现不佳的产业，的确需要更大力度的政府干预，但干预不应达到使其劣势完全被抵消的程度。因此，补贴与产业表现之间的负相关性，并不能告诉我们政府干预是对的还是不对的，因为两种类型的干预都会制造出这种相关性。不明白的话，我们可以用数学方式来检验。 ^[3]

另一个极端是，太多的经济学家迷上了数学，忘记了它的工具性质。在经济学中，过度的形式化，为了数学而数学，已经泛滥成灾。一些经济学分支，如数理经济学，已经变得更像是应用数学，而不是一门社会科学，其参照系已经变成其他数学模型，而不是现实世界。一篇数理经济学论文摘要的第一句是：“我们根据否决机制，证明瓦尔拉斯预期均衡的新特点，这是具有一个完备有限测度空间的行为人且具有差异信息的经济体。” ^[4] 数理经济学最重要，也最为数学导向的刊物之一《计量经济学》（ Econometrica ），曾一度暂停对“社会选择”理论（关于投票机制的抽象模型）的探讨，因为该领域的论文已变得过于数学化，过于玄奥，完全脱离了现实政治。 ^[5]

不过，我们或许也不能对这些工作过于仓促地下定论，值得指出的是，经济学领域一些最有效果的实践应用，正是来自高度数学化、肯定难以为门外汉理解的模型。以抽象的博弈论为基础的拍卖理论，即使对很多经济学家而言，也是深不可测的， ^[6] 但联邦通信委员会以此为基础制定规则，以最有效的方式向电话公司、广播公司分配美国通信频段，还为联邦政府赚到了600多亿美元的收入。 ^[7] 同样高度数学化的匹配及市场设计方面的模型，今天被用来向医院分配患者，向公立学校分配学生。在上述例子里，似乎高度抽象、和现实世界几乎没有关系的模型，在多年后都证明了其现实应用性。

好消息是，与人们的通常印象不同，单凭数学并不能让人深入经济学。重要的是“智慧”：有能力对老话题带来新见解，让难解的问题变得可解决，或针对一个实质性问题设计一种新颖的经验分析。事实上在经济学界，对数学方法的强调早已过了其巅峰期。今天，顶级期刊对实证导向或与政策相关的模型的重视，已远远超过数学化的纯理论分析。经济学明星和被引用最多的经济学家，并不是那些数学怪才，而是对贫困、公共财政、经济增长、金融危机等重要公共问题做出阐释的人。

[1] Thomas C. Schelling, The Strategy of Conflict （Cambridge, MA: Harvard University Press, 1960）；Schelling, Micromotives and Macrobehavior （New York:W.W.Norton, 1978）。

[2] Diego Gambetta, “‘Claro!’ An Essay on Discursive Machismo, ”in Deliberative Democracy , ed. Jon Elster（Cambridge: Cambridge University Press, 1998）, 24.

[3] Dani Rodrik，“Why We Learn Nothing from Regressing Economic Growth on Policies，” Seoul Journal of Economics 25，no.2（Summer 2012）：137-151.一个和经济学关系较远的例子是，著名的进化生物学理论家约翰·梅纳德·史密斯解释了为什么要把观点数学化，视频可见http：//www.webofstories.com/play/john.maynard.smith/52；jsessionid=3636304FA6745B8E5D200253DAF409E0。史密斯说，他对以文字表述的理论感到不满意。该理论试图解释，为什么一些动物，如羚羊，会在奔跑时上下跳，这种行为被称为“蹿跳”（stotting）。它似乎不符合效率原则，因为这会减慢速度。该理论认为，“蹿跳”是向潜在的捕食者显示，这头羚羊不值得追捕：它跑得太快了，乃至于就算以这种低效方式奔跑，也能够逃脱。史密斯记述，他曾试图以数学方式把这一说法纳入模型，但总是不能证明想要的结论：在动物把“蹿跳”当作一种发送给捕食者的信号时，这么做是符合效率原则的。

[4] Marialaura Pesce, “The Veto Mechanism in Atomic Differential Information Economies, ” Journal of Mathematical Economics 53（2014）:33-45.

[5] Jon Elster, Explaining Social Behavior: More Nuts and Bolts for the Social Sciences （Cambridge:Cambridge University Press, 2007）, 461.

[6] 对该理论的相对非正式的介绍，可参见Paul Milgrom，“Auctions and Bidding：A Primer，” Journal of Economic Perspectives 3，no.3（Summer 1989）：3-22。更全面的介绍可参见Paul Klemperer， Auctions ： Theory and Practice （Princeton，NJ：Princeton University Press，2004）。

[7] Golden Goose Award, “Of Geese and Game Theory: Auctions, Airwaves—and Applications, ” Social Science Space , July 17, 2014, http://www.socialsciencespace.com/2014/07/of-geese-and-gametheory-auctions-airwaves-and-applications. JG2ZsSNaxJJBVrNtEVEadWCh6jVJ423INAU0H48j5clXx1PZpMq6fs8FSwsEle3M