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对我们来说很重要的事情是，儿童应该能够从1数到100，并能够进行与此操作有关的练习。这是将初等数学的理论和简单的计算结合起来，特别是给儿童提供了一种更合理的算术方法，而不是基于死记硬背。20多年来，我们的教学仅限于这些练习。总地来说，和其他人一样，我认为算术很难学，期望儿童在这么小的年纪就学会算术是不切实际的想法。
实际上，经验表明，儿童对算术的兴趣，与他们对书面语言的热情和所取得的惊人成绩相比，是微乎其微的。儿童对语言研究的浓厚兴趣，显然证实了人们对算术普遍存在的艰深和枯燥的偏见。
与此同时，我为小学高年级的学生准备的学习材料，很快就试着扩展应用在年龄较小一点的学生身上，也产生了相当显著的效果。儿童摆弄几何图形和可移动的物体，使用“串珠”或彩色玻璃制成的棒或棍，表示从1到10的数字。珠子每10个一串，10串就能摆成一个包含100个珠子的正方形。最后，10个正方形叠放起来，构成了一个立方体，珠子的个数是10的立方，也就是1 000。我们的教育方法应用于普通学校儿童的教育中，并在《高级蒙台梭利教学法》一书中进行了详细描述。
现在，几个4岁左右的儿童被这些漂亮的东西吸引。令我们非常惊讶的是，他们开始使用它们，就像他们观察到的年龄稍大的儿童所做的那样。这样做的结果是大大提高了儿童对数字的热情，尤其是对十进制的热情，以至于算术实际上成了他们最喜欢的练习之一。4岁的儿童可以理解的数字高达1 000。后来，5岁到6岁的儿童取得了如此显著的进步，以至于如今6岁的儿童可以对四位数进行四种运算。
马里奥·M.蒙台梭利帮助开发了这一教育方法，儿童可以组合出2、3甚至4的平方。此外，他还向儿童展示了如何组合数字木棒，使他们能够解决简单的数学问题。
显然，儿童在这些练习中获得了很多乐趣，以及摆弄小物体的能力，这促使我制造了一些类似于福禄贝尔发明的著名的“材料”——把立方体和长方体组合成一个正方体。然而，我并没有把所有的立方体和方块都做得一模一样，而是将一个边长大约4英寸的正方体切成两个不等的部分，然后再将每个部分切成三个不等的部分。这样，大的立方体就变成了小的立方体和各种形状的长方体，体积可以用二项式和三项式的代数方法表示。不同立方体和长方体大小相等的一面具有相同的颜色，同一个长方体不同的面颜色不同。
因此，当儿童打开盒子时，看到的是一整个立方体，由不同的小立方体和长方体组合而成，被涂上多种颜色。例如，在三项式中，有三个不同大小的立方体被涂成不同的颜色；一组长方体的方形面被涂上与立方体相同的颜色，如绿色；还有一组三个长方体也有方形面，但大小跟绿色的不同，被涂成黄色；另外三个长方体的方形面，与之前两组不同，被涂成蓝色；最后六个长方体，矩形面都被涂成黑色。前面提到的三组长方体的矩形面也是黑色的。这些彩色的小东西让儿童着迷，他必须首先根据颜色把它们分组，然后以各种方式排列组合，编出一个小故事。在这个故事里，三个立方体是三位国王，每个国王都有一个和另外两个国王相同的警卫，警卫穿着黑色的衣服。这种材料可以获得很好的学习效果，其中一个是如下的代数公式：a 3 +3a 2 b+3a 2 c+b 3 +3b 2 a+3b 2 c+c 3 +3c 2 a+3c 2 b+6abc。
最后，儿童将立方体按一定的顺序放回盒子，从而重构出一个多种颜色的大立方体（a+b+c） 3 。儿童在摆弄这种材料的过程中，会对物体的排列形成一种视觉印象，从而记住它们的数量和顺序。这些物体提供的视觉印象为心理发展提供了物质基础。对4岁儿童来说，没有什么东西比这个更有吸引力了。后来，根据他们对自己的国王的印象，把不同的物体分别命名为a、b、c，并把它们的名字写下来。5岁的儿童，当然还有6岁的儿童，就能储存起相关的记忆。让他们在头脑中记住三项式的代数公式，而不用借助任何材料，因为他们在视觉记忆中确定了各种物体的排列组合。这给我们提供了一些在实践中实现的可能性。
所有这些算术和代数原理的教学，都是通过辅助记忆的卡片和其他材料来完成的，其结果看起来很奇妙。它们表明，算术教学应该发生彻底的转变，应该从感知开始，建立在对具体物体的认识基础上。很明显，这些6岁的孩子进入一所普通学校，看到其他人开始数1、2、3时，会发现自己格格不入。如果他们要继续在学习上取得长足进步，我们就必须对小学教育进行彻底的改革。
在这种教育体系中，儿童不断地用手移动物体，积极地锻炼感官，同时这种教育体系也考虑到了儿童特殊的数学能力。当他们不再依赖这些材料时，儿童很容易达到他们书写的水平。因此，儿童进行抽象的心理操作，能够获得一种自然的、自发的心理运算倾向。例如，一个英国孩子和他母亲一起从伦敦的一辆电车上下来时，孩子说：“如果他们都吐了口痰，罚款将达到34英镑。”因为他注意到一个牌子上写着，任何人在电车里吐痰，都要被处以一定数额的罚款。然后他花时间在脑子里计算出罚款总额，并把先令转换成英镑。