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我们在算术教学中使用的第一种教学材料是在长度感官教育中用到的10根木棒。木棒有10种不同的长度，最短的木棒长4英寸，第二根木棒长8英寸，依次类推，第十根的长度达到40英寸。但是，当这些木棒被用来教算术时，它们的颜色就不像判断长度时那样保持一致。相反，木棒上每4英寸为一段，交替地涂上红色和蓝色，因此可以根据木棒上的颜色计算节数。第一根木棒的编号是1，其他的木棒依次为2、3、4、5、6、7、8、9、10。这种材料的优点是，虽然每一根木棒都有独立的数字编号，但木棒本身也有一定数量的节数。例如，5号木棒代表数字5，但是木棒上的颜色也可以区分出5节。这就帮助儿童克服了一个非常大的困难，那就是把一个个单位相加得到总数。如果教师使用其他形状的小物体计数，如相同大小的小方块，他在放下第一个时数“1”，在放下第二个时数“2”，那么儿童每增加一个物体都会倾向于数1，他会这样数“1、1、1、1、1”，而不是“1、2、3、4、5”。
整体通过增加一个个新的单位而扩大，而且必须考虑到整体是不断扩大的，这是3岁半到4岁的儿童学习数数的主要障碍。儿童将每个独立的单位组合成一个整体，这个心理过程已经超出了儿童的能力范围。事实上，许多儿童是通过背诵数字的自然顺序来数数的，但是遇到与这些数字相对应的数量时，他们还是会感到困惑。对儿童来说，数手和数脚更具体，因为他们总能发现这些对象与一定的数量有关。他们知道自己有两只手和两只脚，却很少能准确地数出一只手的手指数量。他们成功做到这一点时，也总是很难知道为什么会这样。如果一只手有五个手指，他们应该能对同样有五个单位的物体数出“1、2、3、4、5”。这种困惑对一个成熟的头脑来说不是问题，但在儿童早期阶段的数数过程中，这确实是一个障碍。
儿童思维具有极端精确和具体的特点，需要明确和精准的帮助。当儿童开始使用数字棒时，我们看到，即使是年龄最小的儿童，也会对数数产生浓厚的兴趣。
木棒的编号与数字对应，数字按照颜色单位的增加而增大。因此，它们不仅提供了一个绝对的数字概念，而且还提供了一个相对的数字概念。在感官练习中，我们已经研究了它们的大小比例。在这里，我们用它们来数数，这为学习算术开了一个头。这些木棒可以用于数字间的直接比较，也可以用于各种组合和对比。例如，我们把一根1节的木棒和一根2节的木棒连接起来，就产生了一根3节的木棒。我们将一根3节的木棒和一根2节的木棒连接起来，就可以得到一根5节的木棒。
然而，最有意思的练习是，儿童根据木棒的长度把它们连续放在一起，就像感官练习中做的那样。结果是，它们像管风琴一样排列时，红色和蓝色平齐，形成美丽的横向条纹。然后，儿童把一根1节的最短的木棒放在9节的木棒的顶部，2节的木棒放在8节的木棒的顶部，3节的木棒放在7节的木棒的顶部，4节的木棒放在6节的木棒的顶部，这样就可以搭建出一组都包含10节的长木棒。
移动和连接不同单位长度的木棒，难道不是算术的启蒙吗？同时，以这种方式移动物体是一个令人愉快的游戏，是智力游戏而不是简单的动作游戏。儿童把一组独立的单位看作两个数字的和，是将其心理能量投入到更高一级的加法运算中。一旦障碍被消除，儿童所有的心理能量就都会发挥作用，在年龄允许的范围内，他们在学习方面的进步就会越来越大。
儿童开始读写时，发现学习代表数字的形状很容易。我们给儿童一些用砂纸做的数字和字母卡片，他们通过用手指描画形状学会了如何写数字，也学会了如何读数字。当儿童学会了一张卡片后，卡片就被放在相应编号的木棒上。书面数字与数量的结合构成了一种练习，就像把一张写有名字的卡片放在它所代表的物体上一样。儿童一旦成功完成这项练习，就具备了完成一项长期任务的基本能力，接下来就可以靠自己继续完成练习。儿童会写下木棒的总数，与相应的数字形成对应关系。5岁儿童有时会在笔记本上写满了数字。
木棒是儿童学习算数的材料，我们还使用了另外两种材料。其中一种是对独立的单位进行计数，并给儿童一个数字组的概念，同时，儿童眼前呈现以下数字的顺序：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。这种材料，我们称之为纺锤盘，它有多个隔间，每个隔间对应10个数字中的一个。这些隔间中放有相应数量的不同物体，从而形成一个集合。在这里，我们使用的物体是木棒，它们看起来像纺锤一样。
另一种材料是盒子里的一组卡片，还有一些彩色的物体。这些卡片上分别写着从1到10的数字，打乱放在一起，儿童必须先把它们按顺序排列，表明他已经理解了数字的顺序，并且他能够识别代表数字的符号。然后，他要在每个数字下面放上相应数量的彩色物体，两个一排，依次向下排开，奇数和偶数之间的区别就会自动显示出来。这就是我们认为的为计数和算术运算奠定基础所必需的所有材料。
接下来是更详细的描述，对教师会有实际帮助。儿童根据木棒的长度，把它们从上到下依次摆开。然后，儿童必须从A侧到B侧开始数红色和蓝色的节数，并记下每一节的编号。最长的木棒的每一节对应的编号为：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。木棒从短到长，从上到下，最终形成一个三角形。儿童由此验证了一个事实，即三角形的每一边都对应着数字10。他会多次重复这个练习，因为他觉得这很有趣。
现在，识别木棒长短的感官练习与计数练习结合起来。这些木棒在地板上或者桌子上混在一起。教师选出一个，让儿童数它的节数（如5节），而不是简单地观察。然后，教师告诉儿童：“给我下一个最长的。”儿童凭视觉就挑了出来，教师让他把两个木棒并排放在一起，数一数它们的节数来验证是不是最长的。这样的练习可以重复多次，通过这些练习，儿童可以学会给每一根木棒指定一个特定的名称。现在，他称它们为“一节的”“两节的”“三节的”“四节的”等。最后，简单起见，他可能会在操作结束时称它们为“1”“2”“3”“4”等。
用图形符号表示数字。 如果儿童知道怎么书写，教师就会让他用砂纸上剪下的数字进行练习，就像之前给他练习书写时那样。这里也会根据三个不同的阶段提出不同的要求：教给儿童“这是1”“这是2”；提出要求“给我1”“给我2”；提问“这是什么数字？”儿童必须用手指描画数字，就像之前描画字母一样。
数字练习：把数字符号与数量联系起来。 我已经为这些数字准备了两个箱子，每一个箱子都有一个水平托盘，底部用小小的凸起分成五个隔间，可以在其中放置物体。第二个托盘垂直放置，与第一个托盘成直角，也被垂直线分为五个部分，在每个隔间里都有一个数字。在第一个托盘中，数字是0、1、2、3、4，在第二个托盘中，数字是5、6、7、8、9。
这个练习很简单，就是在水平面的区域内放置与垂直面上的数字相对应数量的物体。为了改变练习，我们会给儿童不同的小物体，如我们自制的小纺锤，福禄贝尔的立方体，还有用来玩跳棋的小圆盘。儿童要把眼前的物体放在它们的位置上，也就是说，把一个圆盘放在数字1附近，两个圆盘放在数字2附近，等等。当儿童完成任务并认为自己成功了，他就向教师核实。
关于零的课程。 我们等着儿童指着零号隔间问：“那里我应该放什么？”然后我们回答说：“什么都没有，0就是什么都没有。”但这还不够，我们必须让儿童认识到0是什么都没有。为此，我们使用了儿童非常感兴趣的练习。他们坐在小椅子上围着我时，我转向其中一个已经做过数字练习的孩子说：“来吧，亲爱的，来找我0次。”他几乎总是跑过来然后回到他的位子。“但是，孩子，你来找过我一次了，我告诉你的是0次。”“那我该怎么办呢？”“一次都没有，因为0就是什么都没有。”“但我怎么能什么都不做呢？”“就是什么都不要做。你必须坐着不动。你不能动，一次也不能过来。0次意味着一次都没有。”
我们重复这样的练习。“亲爱的孩子们，给我0次飞吻。”他们颤抖着，微笑着，静静地站着。“你们听到了吗？给我0个吻，0个吻。”我用近乎激动的语气重复。然后，我停下来，压低声音，仿佛对他们的笑声感到生气，严厉地甚至略带威胁地对他们其中一个人说：“你，过来，0次！我告诉你，过来这里，0次！你明白吗？我在和你说话。来这里，0次！”他没有动，笑声更响亮了。我改变了态度，先是恳求，然后是威胁。最终，我伤心地叹了口气，“可是，你为什么不来呢？你为什么不来？”所有人都大声喊叫，眼睛里闪着光芒，几乎笑出了眼泪：“0什么都不是！0什么都没有！”“啊，是这样吗？”我平静地微笑着，“那你们所有人都来找我，给我一个吻！”他们都冲上来围着我。当稍后我们写数字时，我们会在写0的时候说：“0好像是大写的字母O，是字母O吗？”“不，它不是O。0是什么都没有。”
记忆数字的练习。 儿童认识这些数字并明白它们的含义后，我让他们完成以下练习。我有各种各样的纸，每一张纸上都有印刷或手写的数字0到9。为此，我经常从日历上剪下数字。如果可能的话，我更希望这些数字是红色的。我把数字剪下来，折好放在一个盒子里，让儿童抽取。他们抽出其中一张，拿回到位子上，偷偷地看了看，然后把它折了起来，保持神秘。然后，拿到数字的儿童，自然是年长一些的能认出数字的儿童，一个接一个地，甚至是成群地来到教师的桌子前。那里堆放着不同的物体，可能有立方体，或福禄贝尔的积木，或我设计的用于练习重感的方块。每个人都要取走与纸条上的数字相应数量的物体。然而，那张写着数字的纸条却留在了儿童的位子上，被神秘地折叠起来。因此，儿童必须记住他的数字，不仅是在他和同伴一起走近大桌子时，也是在他逐一数着捡出物体时。教师可以在这时候对儿童的记忆进行有趣的观察。
儿童取走这些东西后，把它们排成两列放在桌子上，如果数字是奇数，多余的物体就放在最下面，最后一排两个物体的中间。因此，9个物体的排列如下（×代表一个单位）：
儿童必须把折叠好的纸条放在标有小圆圈的地方。完成操作后，他等着教师来检验他的工作。教师过来，打开纸条，看了一遍。如果没有出错，教师会表示很满意。
刚开始，儿童拿走的东西的数量经常会比他抽到的纸条上的数字多。发生这种事，不是因为他不记得数字，而是因为他狂热的占有欲。这是一种本能的驱使，是原始的和未受过教育的人的特点。教师试图向儿童解释，从桌子上取走那么多东西没用，这个游戏真正美妙的地方在于准确地拿走指定数量的物体。儿童逐渐领会了这个道理，但并不像人们想象得那么容易。他必须努力克制自己，拿走规定数量的物体。哪怕看到同伴拿走很多东西，他也只能按照规定取走两件。因此，我把这个游戏看作意志的锻炼，而不仅仅是算术课程。
儿童抽到数字0时，不会离开座位，看着所有的同伴站了起来，从远处那堆他不能动的物体中取走一些东西。很多时候，0会被一些很会数数的儿童抽到，原本他们会兴高采烈地把一组精美的物品按顺序摆放在桌子上，这样他们就可以自豪且自信地等待教师的确认。而现在，我们可以研究一下他们脸上的表情。他们的反应很大程度上展示了他们的性格，有一些人无动于衷，挺起胸膛，从而掩盖内心幻灭的痛苦；有一些人则突然表现出失望的样子；有一些人会因自己的处境露出难以掩饰的笑容，引起其他人的好奇心；另有一些人会带着一点嫉妒和明显的模仿欲望，跟随同伴的所有动作直到练习结束，还有一些人则立即表现出一副无所谓的样子。
教师在核对儿童抽到的数字时，儿童承认自己抽到0时的表情也很有趣。“你抽到的数字是什么？你拿走了什么东西吗？”常见的回答是“我抽到了0”“是0”“我什么都没拿”。但是他们脸上表情复杂，语音语调里流露出截然不同的感觉。很少有人坦诚地承认自己与他人的选择不同，大多数人都会忧虑或顺从。
但我们必须给他们一些行为上的训练，“看，保守0的秘密是很困难的。它可能会逃离你，就像是你不在乎。别让任何人知道你什么都没有。”事实上，过了一段时间，儿童的骄傲和自尊就会占上风，开始习惯于抽到0或很小的数字。他们不再感到不安，而是故意掩饰最初的愠怒。
20以内的加减乘除。 我们用来教算术运算的材料和用来教数数的材料是一样的，即不同长度的木棒，这其中已经包含了十进制的雏形。正如我们已经注意到的，这些木棒是用它们所代表的数字的名字来命名的，如1、2、3、4等。它们的长度按数字顺序进行排列。
在第一个练习中，儿童试着把较短的木棒重新组合成具有10节的木棒。最简单的方法是取出一组木棒中最短的那根，然后把它和最长的那根连接起来。再依次取出剩余木棒中最长的和最短的两根，做出“取1加9”“取2加8”“取3加7”“取4加6”的指令。用这种方法组合起来的木棒都有10节。这样的话就留下了5，我们把它垂直翻转，就到了10的另一端，这表明两个5相加等于10。
儿童一遍又一遍地重复练习，逐步学会了用更专业的语言来描述，如“9加1等于10”“8加2等于10”“7加3等于10”“6加4等于10”，最后，“2乘5等于10”。最后，我们教儿童“加”“等于”和“乘”的符号，并请他们写下来。结果就是，我们的小家伙们在笔记本上整齐地记下：
9+1=10
8+2=10
7+3=10
6+4=10
5×2=10
儿童把这一部分知识学得很透彻，记录在纸上，并为此感到高兴。这时，他们的注意力就会转移到要把10节的木棒拆开来。从最后一组10个单位长度开始，拿走4节还剩下6节。从下一组中，拿走3节还剩下7节。然后下一组，拿走2节还剩下8节。最后一组，拿走1节还剩下9节。然后，我们更准确地描述，“104=6”“10-3=7”“10-2=8”“10-1=9”。至于剩下的5，是10的一半，如果我们把一长根木棒切成两等份，那就是10÷2=5。用文字记录下来，就是如下内容。
10-4=6
10-3=7
10-2=8
10-1=9
10÷2=5
一旦掌握了这些练习，儿童就可以自己尝试新的练习。我们能用两根木棒拼成3吗？让我们把1放在2上，然后记下我们的操作，记作2+1=3。我们可以用两根木棒拼成4吗？3+1=4，4-3=1，4-1=3。
两根木棒可以组成4，这与之前的两个5组成10是一样的。如果把这个操作倒过来，算式就会不同，就有了4÷2=2和2×2=4。因此，我们可以思考一下，这个游戏还可以有多少种玩法？就是2×2=4；3×2=6；4×2=8；5×2=10；10÷2=5；8÷2=4；6÷2=3；4÷2=2。
我们发现在玩计数游戏过程中使用的矩阵可以帮助我们。
从它们的排列中，我们可以立即看出哪些数字可以被2整除，即那些底部没有多余符号的数字。这些是偶数，因为它们可以成对排列，也就是两个一组地排列，意味着可以被2整除，把数字下面的符号分成完整的两列。我们可以计算每列符号的数量，得到数字除以2的结果。如果我们要重现原始数字，只需将两列的符号再次组合在一起，如2×3=6。
5岁儿童并不觉得这有什么困难。很快，重复的练习就开始变得枯燥。但是，是什么阻止我们增加练习的难度呢？我们还是用一组10节的木棒，这次不是把1放在9上而是放在10上，2放在9上而不是放在8上，3放在8上而不是放在7上。也可以是，2放在10上，3放在9上，4放在8上。这时，最终的长度会大于10，因此，我们必须学习新的命名方式，如11、12、13等，直到20。
我们为什么要把算术矩阵限制在数字9以内呢？数字9确实太小了。运算学习超过10之后，孩子们会毫无障碍地继续学习到20。唯一的困难在十进位，这需要几节课来教。
十进位课程。 10以上的算术计算，需要用到的教学材料包括各种各样的正方形卡片，上面印着的数字10有1.5英寸或2英寸高，其他矩形卡片的宽度为正方形的一半，卡片上印着1到9的数字，按照大小排成一行。尽管有了更多的数字，但我们还是得从1开始。就像我们沿着台阶数到9时，还需要继续数下去，但是已经没有更多数字可以用了。于是，我们从1来表示，但会把这个1放在更高的位置，与另一部分区分开来。我们在它旁边放一个代表什么都没有的数字0，于是就有了10。然后，我们用不同的数字按顺序取代0，就得到了11、12、13、14、15、16、17、18、19。这些数字是在原来的基础上加上十位数的1而构成的，而不是原本的1、2、3等，直到我们最后把9放在1旁边，从而得到一根非常长的木棒，数一下交替的蓝色和红色节数，发现最终会达到19。
因此，教师可以指导学生连接木棒的长度，展示写着10的卡片，然后在0的位置放上相应的数字，如在个位数位置放上6，就有了16。教师拿走6，再放另一张写着数字8的卡片，这个数就是18。儿童拿掉6号木棒，用8号木棒代替。这些练习可以用书面形式写下来，如10+6=16、10+8=18，等等。减法将以类似的方式进行。
儿童开始对数字的含义有了明确的理解，数字是由单独的卡片组合构成的。个位数和十位数分别写在两张矩形卡片上，如图A和图B所示，带有1到9数字的卡片可以分别放在十位数和个位数上。
在图A中，第一列卡片的第二个10的位置上，个位数0的位置换上1，下面的换上2，依次类推。因此，虽然两列数字中左边的1保持不变，但右边的数字从0到9不等。
在图B中，程序更加复杂。第一列放上标有0到9的独立数字的卡片，因此十位数上是1到9递增。当十位数达到9时，我们有必要继续到下一个10，并继续该过程，直到达到100。
“儿童之家”的孩子们几乎都能数到100，这是对他们表现出的好奇心的奖励。我认为这种教学方法不需要再做进一步的说明。