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1950年，纳什第一次提出了“均衡点”的概念，并证明了混合策略的纳什均衡在相当广泛的博弈模型中是普遍存在的。纳什的这个证明，实际上是他提出的“均衡点”被称为“纳什均衡”的主要原因。纳什均衡的经典定理如下。
定理1-1 在博弈 G ={ S 1 , S 2 ,…, S n ; u 1 , u 2 ,…, u n }中，如果博弈方数量 n 是有限的，且 S i 均为有限集（ i ∈[1,2,…, n ]），则博弈 G 至少存在一个纳什均衡，但可能包含混合策略。
通俗来讲，定理1-1就是“每个有限策略博弈都至少有一个混合策略纳什均衡”。1950年以后，纳什和其他学者又用不同的方法或者针对不同的博弈类型，证明了纳什均衡的存在性。其中最重要的进展是将针对有限策略博弈的纳什均衡扩展到博弈方策略不可数、效用函数连续的无限策略博弈中，得到了定理1-2。
定理 1-2 如果一个博弈的策略空间是欧氏空间的非空紧凸集，其效用函数为连续拟凸函数（上凸）时，该博弈存在纯策略的纳什均衡。