1.5.2 势博弈的性质

定理1-4 每一个有限的势博弈至少存在一个纯策略纳什均衡。

事实上，每一个可以最大化势函数的策略组合 s 都是势博弈的纯策略纳什均衡解。然而，其他纯策略纳什均衡解也有可能存在，这就要求计算所有参与者的势函数。对于无限势博弈而言，存在如下结论。

定理1-5 对于 n 个参与者的无限势博弈，若一个纯策略纳什均衡存在，则必须满足条件：①每个参与者的策略集合 S _i 是紧集；②势函数 φ : S → R 在策略空间 S 上是上半连续的。

势博弈的最大优势在于其纯策略纳什均衡解一定存在。此外，如果策略空间 S 是紧凸集，并且势函数 φ 在 S 上是严格凹函数而在 S 内部是连续可微的，则此时的势博弈存在唯一的纳什均衡解。对于普通势博弈来说，假设存在势函数且为凹函数，每一个均衡点都对应势函数的最（大）值点。当势函数是一个严格凹函数时，存在唯一的最大值点，也代表均衡点有且只有一个。也就是说，通过多种迭代过程（如高斯–赛德尔迭代、雅可比迭代）可以到达纳什均衡的最优状态。

定理1-6 对于 n 个参与者的策略型博弈 G ={ S ₁ , S ₂ ,…, S _n ; u ₁ , u ₂ ,…, u _n }，假设对于任意实数域上的策略集合 S _i , i 的支付函数二阶连续可微，则该博弈 G 是势博弈的充要条件为 zMiPG5farinbUghSzLRrnLfhivlKKrnBGEsc9oaf3q4guCyxUkDO4nyPnTSxjd2I