三角形和四边形的角

关于角度的计算，最基本的是求三角形和四边形的角。下列的几个公式，是解题时所常用的：

（1）在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°=2rt

（2）若∠1、∠2、∠3是△的三个外角，则∠1+∠2+∠3=360°=4rt。

（3）若△ABC的∠C是90°，则∠A+∠B=90°=1rt。

（4）等腰△ABC的顶角A是n°，则底角∠B=∠C= ½(180°-n°)。

（5）等腰△ABC的底角∠B=∠C=m°，则顶角∠A=180°-2m°。

（6）△ABC的AB=BC=CA，则∠A=∠B=∠C=60°=⅔ rt。

（7）△ABC的∠C=90°，AB=2BC，则∠A=30°=⅓ rt，∠B=60°=⅔ rt。

（8）在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360°=4rt。

其他像三角形的外角定理，平行线间的等角或补角定理，平行四边形或等腰梯形中的等角定理，圆的内接四边形中的补角定理等，在解角度的计算题时也常常用到。

〔范例2〕设 在四边形ABCD中，已知∠B=70°，∠C=90°，AB=DB=10，CD=5。

求∠A。

〔思考〕因∠A是等腰三角形的底角，所以要求∠A，必须先求顶角ABD，又因∠ABC已知是70°，若能求得∠DBC，则∠ABD就很容易计算了，∠DBC是rt△BCD的一个锐角，而这一个rt△的斜边是短直角边的二倍，所以∠DBC一定是30°。

解 因BD=10，CD=5，所以BD=2CD，由直角三角形的定理，得∠DBC=30°。

又因∠ABC=70°，所以∠ABD=70°-30°=40°。

但AB=BD，所以∠A=½(180°-40°)=70°。

注意 上举的“思考”是寻求解法的过程，虽然是一步必经的手续，但不必正式写出。在思考中，对各步计算应注意根据确实可靠的定理，在写解法时则可斟酌情形，所根据的简易定理可不必一一注明。

〔范例3〕设 在△ABC中，AB=BC，CD平分∠C，∠ADC=5/3rt。

求∠B。

〔思考〕所求的∠B在△DBC内，已知的∠ADC是△DBC的外角，所以∠ADC=∠B+∠BCD。但∠B又是等腰△ABC的顶角，∠BCD是底角的一半，可用∠B表出，所以可利用方程式求∠B。又∠A是底角，∠ACD是底角的一半，∠ADC同它们是△ACD的三内角，所以又可先求∠A，从而算出∠B。

解法一 设∠B=xrt，则∠C=½(2-x)rt，∠B+∠BCD=∠ADC，从三角形的外角定理，知道∠BCD=¼(2-x)rt，故得方程式

x+¼(2-x)=5/3

解得x=14/9，即∠B是

解法二 设∠A=xrt，则∠C=xrt，∠ACD=½xrt，因∠A+∠ACD+∠ADC=2rt,，故得方程式

x+½x+(5/3)=2

解得x=2/9，即∠A=(2/9)rt

〔范例4〕设在△ABC中，BC边上一点D和A联结，而AC=BC，AB=AD=DC。

求∠C。

〔思考〕因△ABC、ABD、ACD都是等腰三角形，∠C=∠1，所以由三角形的外角定理，知∠2=∠C+∠1=2∠C。又因∠A=∠B=∠2，所以∠A=∠B=2∠C。但∠A+∠B+∠C=180°，于是∠C的度数就不难求得了。

解 ∵AD=DC，

∴C=∠1，∠2=∠C+∠1=2∠C。

又 ∵CA=CB，AB=AD，

∴A=∠P，∠B=∠2。

代入前式，得∠A=2∠C，∠B=2∠C。

而∠A+∠B+∠C=180°，

代入，得2∠C+2∠C+∠C=180°

∴5∠C=180°，∠C=36°。

〔范例5〕设 在圆的内接四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C=1:2:3

求 ∠A、∠B、∠C、∠D。

〔思考〕因圆的内接四边形对角相补，故∠A+∠C=∠B+∠D。若∠A=x°，则∠B、∠C、∠D的度数都可用x表出。由四边形四内角和等于360°的定理，可求得x的值。

解 设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=3x°，因∠A+∠C=∠B+∠D，以前式代入，得x°+3x°=2x°+∠D，故∠D=x°+3x°-2x°=2x°。由四边形的内角定理，得方程式

x+2x+3x+2x=360。

解得x=45，即∠A=45°。于是可得∠B=2×45°=90°，∠C=3×45°=135°，∠D=2×45°=90°。

研究题一

（1）在四边形ABCD中，AB=5，CD=DA=AC=10，∠B=90°。求∠BAD和∠BCD。

（2）D是△ABC的BC边上一点，AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC。

（3）三角形的一角是⅔ rt，求另二角的平分线所夹的锐角。

（4）△ABC的两个高AD、CB相交于M，已知∠A=¼rt，∠C=(5/6)rt，求∠AMC。

（5）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是(1/5)rt，求等腰三角形的各角，试就等腰三角形的角是锐角和钝角两种情形分别计算。

（6）三角形二角的比是5:7，第三角比第(4/19)rt一角大，求第三角。

提示 设三角是xrt，则第一角是x-(4/19)rt，第二角是

（7）在菱形ABCD中，作AE⊥BC，AF⊥CD，如果E、F各是BC、CD的中点，求菱形的各角。

（8）在等腰梯形ABCD中，上底AD等于二腰，对角线BD垂直于腰CD，求等腰梯形的各角。

提示 注意等腰三角形、等腰梯形、平行线间的等角。

（9）在矩形ABCD中，AE⊥BD，∠DAE:∠BAE=3:1，求∠EAC。

提示 用配分比例法，分90°成3:1的二份，可得小角BAE的度数，再研究∠OAD、∠ODA、∠BAE间的关系。

（10）四边形顺次诸角的比是(α)2:4:5:3，(b)5:7:8:9，这四边形能不能作一外接圆？

（11）四边形ABCD的二对角线相交于O，∠B=116°，∠D=64°，∠CAB=35°，∠CAD=52°，求∠AOB。

提示 这四边形可作一外接圆，利用同弧所对的圆周角相等。 UQ2tdZJqsLrGs3DZAuqGQweQr5bKEiB10lWluqTWLsPwXJALy7Xr60tqxhuIM9Jj