第6章
福尔摩斯和迷路的自行车

在阿瑟·柯南·道尔所写的《福尔摩斯探案集》中，故事《修道院公学》讲的是英国一所贵族寄宿学校里发生的案件：一位富有的公爵10岁的儿子在学校宿舍里离奇失踪，同时不知所终的还有一位德语老师、一辆自行车（以及学校愿为普罗大众服务的承诺）。在当地警察都束手无策的情况下，绝望的校长跌跌撞撞地走进贝克街221B号，寻求小说中威名远扬的大侦探福尔摩斯的帮助。

“福尔摩斯先生，”校长说，“拜托你务必尽力破案，你这一生中再也不会遇到比这更值得全力以赴的案子了。”

数小时后，夏洛克·福尔摩斯和他的搭档华生医生来到学校附近的一大片湿地上搜查，他们发现了第一个线索：“一条漆黑的羊肠小道，潮湿的地面上清晰地留下了自行车经过的痕迹。”于是福尔摩斯开始了经典的演绎推理：

“华生，你看，这个人骑着自行车从学校出来。”

“也可能是骑着自行车往学校的方向去？”

“不对，华生，不是这样的。你知道，自行车在泥泞中前行时，后轮会陷得更深，因为人的重量主要落在后轮上。你看这地面，后轮的轨迹与前轮的轨迹相交了好几次，把前轮留下的较浅的痕迹都抹去了。毫无疑问，这辆自行车是朝着离开学校的方向前进的。”

看看这言之凿凿的物理学证据！看看这堪称天才的几何推理过程！不过，有一个小问题被这段流畅的解释掩盖了，我在这里用一个简单的图表就可以说明：

从上图中，我们可以看到两条轨迹，较深的轨迹与较浅的车辙相交了好几次。仅凭这个就可以确认自行车行驶的方向吗？哎，其实不然。福尔摩斯犯了一个不该犯的错误：他忘了自行车后轮的轨迹 总是会 轧过前轮的轨迹，这一事实并不能提供自行车行进方向的线索，而是体现了自行车设计的一个特点，即前轮可以调整方向，后轮不能，因此后轮的行进方向和前轮是保持一致的。

人们可能会把这个错误怪罪于作者柯南·道尔，但我认为福尔摩斯必须为自己的错误负责，即便他只是小说中的人物。

不过，这个公爵的运气不算太差，还有一种准确而简单的、可以通过自行车的轨迹推断出前进方向的方法。这种方法基于微积分中一个简单而强大的概念： 切线。

“切线”（tangent）一词与“tangible”“tango”均来自同一个拉丁语词根“tangere”，都表示触碰、爱抚的意思。在数学中，切线飞快地触碰到曲线上的某一点，而正是在那个短暂的瞬间，它指引了曲线的瞬时方向，成为曲线的导数。

更形象地说，如果曲线是一辆车行驶的轨迹，那么切线指示的就是前照灯的方向。

假如你想做一个更戏剧化的演示，还可以在一块石头上系一根绳子，然后拽着绳子的一端，在头顶上绕圈。当绳子突然断裂时，石头会沿着一条直线飞出，这条直线就是石头的绕圈路径在石头飞出去那一刻的切线，也就是石头那一瞬间的运动方向。

那么，自行车的情况是怎样的呢？因为自行车的前后轮都被固定在了车架上，所以在任何给定的时刻，后轮都在追赶着前轮。也就是说，它的瞬时运动方向一直指向前轮的当前位置。

让我们用最初的问题来验证这个事实：在不知道车辙深度的情况下，我们还能分辨出哪个是前轮吗？

亲爱的夏洛克，这个问题其实很简单。只要我们能在一条轨迹上找到一个切线朝外的点，也就是切线指向的方向完全没有车辙（意味着没有车轮经过），那就是前轮的轨迹。你想想，后轮的注意力可能如此分散吗？当然不可能！后轮是时刻紧跟着前轮的。因此，切线朝外的轨迹一定属于前轮。

现在，摆在我们面前的是一个价值6 000英镑（故事中公爵提供的赏金）的问题：自行车朝哪个方向行驶？

值得考虑的只有两种可能性。首先，假设自行车从左向右移动。我们为后轮画几条适当的切线并延长它们，直到其与前轮的轨迹相交：

理论上，沿着切线从后向前的距离应该与自行车的长度是一致的。但在这幅图中，随着我们在轨迹上选取不同的点，这个距离始终在变化。对此我们只能得出这样的结论：在这段旅程中，自行车的车身像弹簧一样不停伸缩，长度一直在变化。因此，这样的自行车必定属于某个技术高超的骑手，否则就是这个可能性本身存在问题。

《修道院公学》中对这个推论给出了一个合理的评价：

“福尔摩斯，”我说道，“这不可能。”

“非常好！你的这句话让我醍醐灌顶。”他说，“我也发现这是不可能的，所以我一定是有某个地方说错了。你能找出问题在哪里吗？”

其中的问题不言而喻。现在，我们还剩下一个未考虑的选项，即假设自行车从右向左行驶：

啊哈！谢天谢地，这次画的切线都是一样的长度，这些切线体现了自行车坚实的结构，也印证了我们推理过程的合理性。就这样，我们得出结论：从右向左是自行车行驶的正确方向。

这段推理的华丽转身是不是令人拍案叫绝？它从运动残留的痕迹中提取确定性，从几何的编码语言中提取朴素的真理，还结合了对物理证据的严密检查和对抽象逻辑的仔细练习。在这些特性上，它类似于福尔摩斯推理的每一次成功，也类似于高等数学的每一次成功，而且一切都并非巧合。

福尔摩斯与数学之间的关系很明显：数学就是他的镜像。这也就是为什么当柯南·道尔想为这位逻辑缜密、目光敏锐的侦探找一个能配得上他的劲敌时，创造了一位数学家，即莫里亚蒂教授。在小说中，莫里亚蒂教授被描述为“犯罪界的拿破仑、天才、哲学家和抽象的思想家”，更不用说他的著作《小行星力学》了，那是“纯数学的巅峰之作，整个科学界没有人能对它提出任何疑问”。

因此，如果是莫里亚蒂，可能很快就能完成对自行车路径的推理，而且我估计这个劲敌对福尔摩斯的思考方向也了如指掌。

我第一次了解这个自行车谜题是在传记作家西沃恩·罗伯茨（Siobhan Roberts）写的可爱传记《天才玩家：约翰·康威的好奇心》（ Genius at Play: The Curious Mind of John Horton Conway ）中。书中有一个故事让我印象非常深刻：三个数学家在普林斯顿大学合作开设了一个实验班。按照他们的说法，这是一项“突破传统的、颠覆性的尝试”，目标群体是“数学和诗歌专业的学生”，课程主题为“几何与想象力”。他们预计报名的学生人数可能会在20人左右，结果竟然有92个学生报名。正如罗伯茨所说的，这些孩子的钱花得太值了：

教授们组织了一个集体进教室的盛大仪式，有时是举着一面旗子入场，有时戴着自行车头盔，有时甚至会拉着一辆红色的小马车，车上装满了多面体模型、镜子、手电筒、从杂货店买的新鲜农产品……

在其中一节课上，教授们找来一大卷纸，撕成至少6英尺宽、20英尺长的纸条，然后骑着车轮上涂了油漆的自行车碾过这些纸条。这就创造了史诗级的几何自行车画作，一个真人大小的谜题。和年轻的福尔摩斯一样，学生们的任务是确定自行车的行进方向。

但是教授们提出了一个更难的问题，甚至连莫里亚蒂都可能解不出来：

然而，有一组轨迹却难住了学生。彼得·多伊尔（教授之一）骑着车碾过那张纸条，然后又骑了回来，不过他骑的是辆独轮车。