第3章
黄油吐司：昙花一现的幸福感

我搬到英格兰后，在第一次走进一所有着462年历史的私立学校教书时，我简直不敢相信自己竟能拥有这样的好运气。因为每天上午的课间休息时间，老师们都可以到教师休息室里享用茶和烤吐司。说实话，仅是“教师休息室”和“休息时间”这两个概念就已经让这所学校把我的老东家远远甩在了身后。万万没想到，我在这儿还能每天享受如此盛宴，这难道不是霍格沃茨魔法学校里的梦幻写意生活？当时的我对新同事说：“我一定会永远珍惜这里的一切美好事物，绝不会对它们习以为常的！”不过打脸来得有点快，我现在已经对它们习以为常了。

心理学家称这个过程为 “习惯化” 。意思就是，我的视力和恐龙的一样好：能敏锐地捕捉到任何移动的东西，但对静物却视而不见，即便它是涂了黄油的吐司。也许进化心理学可以解释这一现象，又或者我就是一只忘恩负义的虱子，但不管怎样，你都可以用数学方法来描述习惯化。同样，我们逐渐习惯了函数——即便函数是一个伟大的发明，但要不了多久，它会需要一个导数（一个非零的变化率）来吸引我们的注意力。毕竟只有更新的事物才能吸引我们的眼球。

一天，我捧着一杯新沏的茶，嚼着一片小麦吐司 （呃，我还以为自己拿的是白吐司） ，然后一屁股坐到沙发上，旁边是我的朋友、英语老师詹姆斯。“最近怎么样？”我和他寒暄道。

詹姆斯对待任何事物的态度都是绝对认真和诚恳的，对这个简单的问题也是如此。

“这个星期我过得很开心，”他回答道，“尽管有些事情还是比较艰难，但情况正在好转。”

不得不承认，我首先是一名数学老师，其次才是一个人，因为我是这样回应他的：“所以，你幸福感的函数值目前不算高，还在中间位置，但它的一阶导数是正的。”

面对我这无厘头的回答，按理来说，詹姆斯应该一把拍掉我手上的烤吐司，将他的茶浇在我头上，然后大喊：“ 你这个疯子，咱俩绝交！ ”但他并没有这么做。他竟然微笑着，凑上前来，说道（我发誓他真的是这么说的）：“哇，好有趣，能解释一下你说的这些是什么意思吗？”

“没问题，”我开始给他上课，“想象一个你的幸福感随着时间推移而变化的函数图，你的幸福感正处于中等的高度，但此时此刻，它还在上升，所以目前导数是正的。”

“我明白了，”他说，“那么，如果导数是负的，是不是就意味着情况变得更糟了？”

我含糊地回答：“嗯，也可以这么说吧。”我，模仿的是数学家们所钟爱的（或者冒着被骂的风险还要）故弄玄虚的说话方式。负导数的确意味着数值在下降，但对某些函数来说，比如个人债务的函数或身体疼痛的函数，你可能更希望导数为负。不过，就幸福感而言，负导数的确是件坏事。

这就是微积分学的第一堂课。不过大多数学生不是通过心理学中模糊的“幸福感”函数，而是通过物理学中非常明确的“位置”函数来了解微积分的这些概念的。例如，假设用 p 表示骑自行车的人在自行车道上的位置：起点处， p =0；半英里后， p =2 640英尺。

这里的导数是什么？就是 p 在一个特定时刻的变化速度。我们称它为 p' （发音为“ p 撇”），或者（更形象的说法是）“速度”。

一个较大的 p' 值，比如说每秒44英尺，意味着位置变化很快，自行车在高速移动。一个较小的 p' 值，比如每秒2英尺，表示自行车在低速行进。如果 p' =0，则表示位置没有发生变化，自行车是静止的。如果 p' 是负的，则意味着自行车在朝相反的方向移动，也就是骑自行车的人掉了头。

从原来的位置-时间函数图中（每个时间点对应一个位置），我们可以“导出”一个全新的函数：速度-时间函数（每个时间点对应一个速度）。这就是“导数”一词的起源：推导、衍生而来的数值。

可怜的詹姆斯费劲地理解着微积分的知识，就像在研究什么用外星文写的诗歌一样。作为一名英语教师，他是研究语言和运用语言表达人类经验的专家，但现在他似乎找到了枯燥的导数语言和人类语言之间的相通性，并将前者理解为一种笨拙的文学翻译形式。

“再深一点的微积分知识就是二阶导数了。”我说。

詹姆斯郑重其事地点了点头：“继续教我。”

“二阶导数是导数的导数，所以它告诉我们的是变化率是如何变化的。”

詹姆斯皱起了眉头，原因不难理解：他认为我在胡说八道。

我试着换一个角度来解释：“假设导数是你幸福感提升的速度。那么二阶导数研究的问题就是你幸福感的提升速度是变得越来越快，还是越来越慢。”

“嗯。”詹姆斯揉了揉下巴，“对我来说，应该是越来越快。所以我的二阶导数是正的，对吧？”

“没错！”

“如果我幸福感提升的速度放缓了，”他继续说，“那么一阶导数仍为正，但二阶导数为负。”

“是的。”

“这玩意儿还不错，”詹姆斯说，“我应该把导数和二阶导数的概念教给我所有的朋友。当他们问我最近过得怎么样时，我只要提供几个数字就能准确地表达自己的情绪状态。”

“比如你可以跟他们说， h 为正， h' 为负，但是 h" 为正？”

“等等，你得给我点时间理解一下。”詹姆斯听完我说的这一连串像是用某种简洁而原始的语言记录下来的谜题后，说，“这意味着……我感到很幸福……但是我的幸福感正在下降……同时我幸福感下降的速度在放慢，对吗？”

“没错。”

在捕捉情感的细微差别方面，这种语言可能显得比较生硬或粗糙，比如它会毫无感情地评价 “这是个幸福的人” 或“ 那是个不幸的人”。但就像所有的导数一样，这是一种物理上的隐喻，即将情绪变化与空间 位置变化进行类比。

正如我们从自行车上看到的，位置的导数是速度，那速度的导数呢？是加速度（也称 p" ，或 p 的二阶导数）。

导数和二阶导数所给出的信息是不同的。如果你难以理解这种不同，就想象一下火箭起飞的那一段时间，宇航员的脸被向下压得都变形了，那模样和一块果冻差不多——这时他们的速度还不算太快，但速度变化非常快，因此加速度很大。

再举一个情况完全相反的例子。比如一架高速飞行的巡航飞机，它的速度很大，但由于是匀速行驶，所以加速度是零。

（正如这些例子所说明的，速度对我们的身体影响不大。造成生物力学差异——使我们感到压力、恶心、困惑和兴奋——的是加速度，因为它与作用在我们身上的外力是相对应的。）

美国诗人罗伯特·弗罗斯特（Robert Frost）曾写道：“诗歌始于琐碎的隐喻。人类所拥有的最深刻的思想正是从美丽、优雅的隐喻发展而来。”我不确定弗罗斯特在导数中发现多少诗意——它们直接的无可救药，每次只说一件事，而且措辞优美——但其中孕育着无数的隐喻。正如速度能告诉我们位置的变化量，加速度能告诉我们速度的变化量，合适的导数也能告诉我们幸福感的变化量。

詹姆斯本人毕竟不是隐喻大师，他有了疑问，则会开口问：“那 三阶导数 呢？”

在物理学中，三阶导数（ p''' ，或称 p 三撇）被称为 “加加速度” （jerk），指的是加速度的变化，也就是说，作用在物体上的力的变化。试着想一下司机猛踩刹车的那一瞬间，火箭发射的那一瞬间，或者拳头打在脸上的那一微秒。没错，正是力的变化带来了加速度的变化。

我从没教过学生加加速度的相关知识。而三阶导数非常复杂。18世纪的哲学家乔治·贝克莱（George Berkeley）用牛顿介绍导数时故弄玄虚的风格写道：“当然，我想，能消化得了二阶或三阶流数（与今天导数的含义一致）的人，是不会因吞食了神学论点就要呕吐的。”

“这确实有点难理解，”我提醒詹姆斯，“物理上的解释是相当微妙的。”

但在之前的这五分钟里，我已经有了一个粉丝，也可以说是一个狂热的信徒。“别放弃啊！”詹姆斯激动地说道，“三阶导数有什么难的，它就是我的幸福感变化速度的变化量。”他忍不住提高的音量，让办公室里的其他同事都朝这边投来了关切的目光。“你别劝我了，我一定要学会所有的导数！我要用无数的数字描述我的幸福感是如何变化的，变化是如何变化的，变化的变化又是如何变化的……然后我的朋友们就可以知道我的感受，而我再不用多解释一个字了。”

“你这么说倒也没错，”我说，“事实上，如果他们精确地知道你此刻的快乐是如何演变的——这是一条无穷的导数链——那么他们就可以无限期地预测你未来的情绪状态。如果有足够的导数，他们就可以推断出你一生的幸福历程。”

“不，比这更好的是，”詹姆斯大笑着拍起了手，“我以后再也不用和我的朋友们说话了！”

我开始有些担心了，问道：“这不会对你的幸福感产生负面影响吗？”

詹姆斯驳回了我的这一担心，回答道：“没事，我把这个因素也加入导数中，他们会明白的。”

这时，上课铃响了。虽说这所学校可谓“老师们的天堂”，但你也得时不时地回到教室给学生上课。我把茶杯放在桌子上，然后快步走进了属于我的那间教室。我想我应该对莎拉（那个为我们端来黄油吐司和收拾餐具的女人）说声谢谢，但我知道，作为一个对美好事物容易习以为常的怪物，我总有忘记的时候。