第8章
风留下了什么

这是马萨诸塞州11月的一天，天空晴朗明净。风吹落了树叶，就像冬天抹去了秋天的装饰物。我端着一杯茶，向朋友布里安娜（一名英语教师）描述我写的这本书，当然，这本书在当时只有一个粗略的大纲加几个未完成的片段。我解释说，这本书就像一场微积分之旅，但其中没有花哨的方程，没有复杂的计算，只有想法和概念，而且它们都是用讲故事的方式说明的。这些故事将跨越人类的发展历程，从科学到诗歌，从哲学到幻想，从高雅的艺术到日常生活。不好意思，虽然我还没正式开始写这本书，但总是会一不小心就把它夸得天花乱坠。

布里安娜认真地听着我的侃侃而谈。按她自己的说法，她“不是一个有数学头脑的人”，但是在我看来，她是一个有好奇心、有思想、有洞察力的人，而这正是我想要的读者。在我们聊得正起劲时，布里安娜突然想到了一个数学老师曾出的谜题。随后她拿出一张纸，并在纸上画了一个长方形。

“虚线部分有多长？”她问道。

“7英寸 ，”我说，“3+4=7。”

“好的，那这个呢？”她又问。

“还是7英寸，”我答道，“2条水平边的长度加起来是4英寸，2条竖直边的长度加起来是3英寸。就算你把它们分成一段段的，也不会改变它们的总长度。”

“说得没错，”她说，“那 现在 呢？虚线部分有多长？”

“还是7，”我回答，“道理不变。”

她又画了一个图：“现在呢？”

“依然是7……”

“好的，那如果我们无限次地重复这个步骤，最后创造出一个这样的形状呢？”布里安娜说。

我皱起了眉。现在这幅图展现的是数学书中最古老的定理之一——勾股定理，也就是直角三角形中“ a ² + b ² = c ² ”。“在这个题目中， a =3， b =4，所以 c =5。”我回答道。

“没错，就是5。”布里安娜像歌手扔麦克风一样，把铅笔帅气地扔在了桌子上，然后问我，“所以，这是什么情况？”

和布里安娜一起坐在客厅里的有以下几个人：① 她的丈夫泰勒，过去是微积分老师，现在是数据科学企业家；② 我的妻子塔琳，一名数学研究人员；③ 我，一个写数学书的人。我们几个所接受的数学教育时间加起来超过40年，并且分别拥有麻省理工学院、加州大学伯克利分校和耶鲁大学的学位。我们都清楚地知道极限、收敛及近似几何的概念，当然也知道7不可能等于5。

但面对这一难题，我们却怔住了。我觉得整个宇宙都在戏弄我，那感觉就好像有人把手伸到了我的身后，然后故意拍我另一侧的肩膀，让我朝错误的方向转身。我几乎能听到他在咯咯地笑，不过那也有可能只是风声。

“这是非一致收敛吗？”塔琳疑惑地嘀咕着。

泰勒不太确定地说：“这不是一个有意义的极限。”

我的脑海中出现了几个可能的反驳角度，但都没有丝毫的启发性或解释性。

所以我只能点着头：“啊，是的。”

布里安娜提的这个谜题直击微积分的核心，同时直击其哲学概念的基础—— 极限 。极限是无限过程的最终目的。你不一定会达到极限；你只是在不断地靠近它，越来越近，比文字或想象所能描绘出来的还要近。布里安娜在这里设置了一个极限，一个非常狡猾的极限。它以某种自相矛盾的方式，同时指向两个目的地。如果一步一步地走，长度是7；但是不知为何，如果从终点往回看，长度就变成了5。

诸如此类的悖论一直困扰着微积分。在莱布尼茨和牛顿首次提出该理论之后的那一代人中，哲学家乔治·贝克莱就责备他们太草率了。牛顿曾经声称，微积分追求的不是 消失之前 的值（也就是当它们仍然是有限的数值时），也不是 消失之后 的值（也就是当它们变为零时），而是 消失时 的值。这到底是什么意思呢？

“这些所谓‘转瞬即逝的增量’是什么？”贝克莱不屑地说，“它们既不是有限的量，又不是无穷小的量，也不是零。难道我们要把它们当作数字去世后的亡灵？”

布里安娜的谜题并不是唯一一个这样的悖论。还有一个类似的问题，是从等边三角形开始的。假设三角形的三条边都相等，那么红边之和是黑边的两倍长。

接下来，把两条红色的边分别掰两半。这样一来，我们先上后下的路线就变成了向上→向下→向上→向下的路线。

红色边的长度没有改变，我们只是重新排列了它的各个部分。因此，它的长度之和仍然是黑边的两倍。我们可以重复这一过程（掰开、重排、掰开、重排……），每一步红色边的长度之和都是黑色边长度的两倍。

如果我们无限重复这一步骤，那么原来的红色尖顶帐篷就会无限趋近于一条直线，与黑色边变得难以区分。但是，这样会使黑边的长度加倍吗？

研究人员历经了几个世纪的磕磕碰碰才理解了这个领域。“阅读那个时期数学家的语言，”威廉·邓纳姆（William Dunham）教授写道，“有点像听肖邦在一架有几个音走调的钢琴上演奏，尽管我非常欣赏这位音乐天才，但有些东西听起来就是不太对劲。”

令人困惑的事实是，并不是所有的东西都能在求极限的过程中幸存下来。

以数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…为例，每前进一步得到的都是一个分数，即一个 非整数 。然而，在这条无穷远的求极限路上的某处，这个数列将收敛到1。

这是否意味着1不是整数？当然不是！它只是意味着终点看起来不一定就是通向终点的那条路的样子，就像木制楼梯可能会通向铺着地毯的楼层。

下面是我妻子在她的分析导论课上举的一个例子：一个三角形的波浪在平静如水的 x 轴上移动。

在 x 轴上，所有点在某段时间内均为零，然后在三角波经过时短暂地变为非零，之后再次变为零，直到永远。因此，每个点迟早都会收敛到零的高度，这意味着整个画面的极限是一条水平线，也就是 x 轴。

但是三角波最终会怎样呢？极限会像原子弹毁灭一切那样抹去它吗？

说实话，是的，极限可以做到这一点。

你永远无法真正“到达”一个极限。当然，你可以靠近它——近到你能闻到它的味道，近到你能感受到它的疼痛——但你并没有到达。而真正的极限是一种超凡脱俗的境界，飞跃到极限的瞬间类似于通向死亡的致命一跳；原本受时间限制的肉体摇身一变，成了永恒的灵魂。既然离开了尘世，就不必再要求所有的特征都在这个变化过程中留存下来了，难道因为我们的肉身有毛发和牙齿，就要苛求在过世之后也有一个拥有一头秀发和一口好牙的灵魂？

在数学学科中，微积分是一个高深莫测的奇迹，它的神奇之处在于有那么多事物都在 飞向 极限的致命一跳中幸存了下来。导数和积分都是由极限定义的，但它们没有在悖论中土崩瓦解，而是井井有条地工作着。

那些和布里安娜提出的谜题类似的问题推动了19世纪数学的发展。整整一代学者齐心协力，彻底消除了微积分中的悖论，他们将前人建立的直观、几何意义上的概念变得更严谨、更无懈可击。在这个过程中，微积分的概念被重新构建，只保留了最初的一部分特征。

这就是关于求极限的过程的故事。有些故事如秋天的落叶消逝在风中，而有些则像冬天的松枝般苍翠挺拔、不畏风雪。