第7章
一部未经授权的潮流传记

这是一个关于潮流的故事。至于具体流行的是什么，你自己来决定吧。可以是呼啦圈、魔方，或者是电子宠物机、苹果手机。当然，它不一定非得是玩具，你还可以选择某种语言上的变化、某项新技术或某个社交网络，抑或是一个正在生长的肿瘤或一群繁殖能力惊人的兔子，只要是能吸引你的事物就行。接下来，我能让它成为一种潮流，吸引所有人。

“这怎么可能？” 你惊讶得瞠目结舌， “怎么可能做到任我选择主题，同时又让它适用于所有人？”

因为这实际上是一个关于曲线的故事，而这条曲线是这样的：

这个基本模式被称为“ 逻辑斯蒂增长模型” ，是迄今为止世界上最伟大的数学模型之一，在基础微积分中的地位之高就更不用说了。和所有的经典之作一样，它的故事可分为三幕展开。

首先是第一幕：加速。

在最开始的那段时间里，我们要引发的潮流尚未开始流行，还只是一个缺乏根据的想法。比如，某个异想天开的疯子突然冒出来的想法， “我要把石头当成宠物卖给人们” ，或是“ 我要编一支只用手臂舞动的舞蹈，让它风靡全球，那时每个人都将欢呼着‘嘿，玛卡雷娜’” ，甚至是 “我要把一本全是人脸的书电子化，这样我就能成为扎克伯格，颠覆全世界的社交方式”。

这些想法现在看起来是不是都很有远见？或许是的。但在一开始，它们的传播速度看上去十分缓慢。

好在情况并不像看上去那么惨烈。在这些不被看好的起步阶段，我们要引发的潮流的扩散速度实际上接近于 指数级 增长。

“指数级”一词已经渗入人们的日常用语，这在数学词汇中并不常见（例如，“点积”和“二分图”这些词就仍属于艰涩难懂的名词，极少为人们所知）。然而，正如一个独立乐队在发展壮大的过程中，原本的一些风格和特色难免会消失，人们将“指数级增长”视为“非常快”的同义词，但它还有更精确的专业定义：指一个变量增长的速率与其大小成比例。

换句话说，这个变量越大，它增长的速度就越快。

在 线性 增长中，增长量在每个时间段是一定的。这样的增长可能很缓慢，就像一棵普通的树每年增加一圈年轮；也可能很快，就像电影《杰克与豆茎》中那棵变异的豆茎，每毫秒就增加一圈年轮。对线性增长而言，重要的不是速度，而是增长率的一致性。如果某个事物的增长率保持不变，那么它就是线性增长的。

而指数级增长就截然相反了。假设一家初创公司的收入每月增加8%，一开始，它的8%只是一个微不足道的数值（因为总收入本来就很少，所以它的8%必然更少了）。但是，随着时间的推移和公司的扩张，8%的增长对应的数值变得越来越大。在9个月的时间里，公司的收入就翻了一番；在10年内，公司已经从每月营收1 000美元的“毛毛虫”变成了每月800万美元的“巨型蝴蝶”；再过10年，它就会变成一个每月赚1万亿美元的超级怪物——这个数字占全球GDP的15%。 这就是 指数级增长。

你可以在两个简单的方程式中看到这两种增长模式的本质区别：

当然，这种指数级增长的蜜月期不可能永远持续下去，否则潮流的每一次流行都会吞噬整个宇宙。事实上，到目前为止，这种情况只发生过两次，一次是豆豆公仔（Beanie Babies，一种使用豆状PVC材料作为填充物的绒毛玩具）的流行，另一次是嘻哈圈用手臂挡脸动作（dabbing）的流行。指数级增长持续一段时间后，我们的故事就进入了第二幕：拐点。

和“指数级”这个词一样，“拐点”是另一个从数学书进入人们日常用语的词汇。尽管我非常乐于见到数学术语的病毒式传播，但我必须指出，在日常生活中，人们总是用“拐点”来表示“发生变化的时间点”，让这个词显得很不高级。

在逻辑斯蒂增长模型里，拐点不是快速增长 开始 的时刻，而是快速增长达到 顶点 ，到达高潮的那一刻——自那以后，漫长而缓慢的衰退便开始了。

你们可能还记得，导数可以告诉我们图像是如何变化的。正导数意味着正在增加，负导数则意味着正在减少。

而二阶导数则会告诉我们一阶导数——也就是增长率本身——是怎样变化的。正的二阶导数表示增长率正在加速，负的二阶导数呢，则表示增长率的增速正在变缓。

拐点是一个发生转变的时刻：这一刻的二阶导数由负变为正，或是（像逻辑斯蒂增长模型中的情况一样）由正变为负。就像一列失控的火车或一首大街小巷都在放的流行歌曲，在一段时间的持续加速之后，增速开始放缓——终于放缓了。

这是潮流在流行过程中经历的一个特殊时刻：胜利的号角响起，回首来时路，不由得百感交集，这体验与人们到达巅峰时的感受差不多。以社交平台Instagram（照片墙）为例，假设这个月是新增用户 最多 的月份。尽管此时并不是Instagram用户最多的时候，但却是用户量增长速度 最快 的时候，这说明其传播速度比过去或将来任何时刻都要快。从图中可以看出，之后用户量的变化情况是其早期发展轨迹的镜像：每一个加速的瞬间都有一个相对应的减速瞬间。

这就带我们来到了故事的第三幕：饱和。

在这里，我们所引发的潮流成为社会的主流，这让它看起来没有那么酷了。父母那一辈都知道了它，爷爷奶奶们也都听说过它，甚至连那些被称为“流行文化绝缘体”的数学老师可能也赶起了时髦。早期的拥趸们发现，他们曾经引以为傲的时尚潮流不再是小众和前卫的。正如悖论之王尤吉·贝拉（Yogi Berra）所言：“再也没有人会去那里了，现在那里挤满了人。”

在指数级增长模式中，某变量增长的速率与其大小成比例。而在逻辑斯蒂增长模型中，又增加了一个关键信息：某变量增长的速率与大小成比例，同时也与它的值和极大值的距离成比例。

换句话说，越接近极大值时，增速越慢。

正如一片森林里只能容纳一定数量的兔子，一个经济体中只能承载一定数量的电动汽车，喜欢《江南Style》这首歌的粉丝数量也会有上限，每个系统都以某种方式拥有着有限的资源。众所周知，脸谱网（Facebook）的用户数量永远不可能超过人类的数量，除非它放宽对海豚和大猩猩用户的偏见禁令，允许它们注册账号。

为了更好地说明这一点，我们需要借助化学和化学中的 自催化反应 。

化学这门科学研究各种各样的反应，比如“具有爆炸性的”“会冒泡的”和“噢，能产生梦幻色彩的”。在一些情况下，有一种特殊的分子可以加速反应，如同热心的助手一般，我们称之为“催化剂”。

在一些非常特殊的反应中，反应产物本身就有催化剂的作用，这就形成了一个正向的反馈循环：产生的催化剂越多，产生催化剂的速度就越快。这样下去，反应就会越来越快，甚至导致沸腾或爆炸……不过，这样的循环是不可能永远持续下去的。当反应物逐渐耗尽，直至接近于零时，我们剩下大量催化剂，但是已经没有什么东西需要催化了。反应就这样慢了下来。

潮流的流行也遵循着类似的逻辑。一种潮流吸引的人越多，就会有越多的人加入传播它的队伍，进而导致加入的人越来越多。这样的正向反馈循环会导致指数级增长——至少在一段时间内是如此。然而，这一潮流的目标群体迟早会被耗尽。加入的人很多，但已经没有潜在的受众可以吸纳了，正如自催化反应后期的情况一样，催化剂过剩，但没有反应物可以催化了。

如果你喜欢浮夸的化学术语，你可能会说，病毒式的流行就是人类的自催化反应。

数学中的模型分为两大阵营：机械模型和现象学模型。 机械模型 体现了数学本身的原理，就像一架装有等比例缩小的引擎的模型飞机；而 现象学模型 仅仅是致力于表面上的相似，就像一架普通的模型飞机，看起来很酷炫、逼真，却飞不起来。

在测试模型之前，你可能会问：它是哪一种？

硅谷的那些IT公司更喜欢采用的是机械模型，他们会计算一个“病毒式传播系数”（指每个潮流追随者吸纳的新人数量），再估算一下整个市场的规模，制作一个PPT，然后就准备向投资者推销了。

还有另外一个故事，是一位著名生物学家的真实故事，他利用逻辑斯蒂增长模型预测了美国未来的人口。在估算了20世纪初的数据后，他掰了掰手指，得出结论，美国的人口将稳定在略低于2亿的水平——哎呀，这个数字我们早就超过了，而且超出了大约1.2亿人。

可是，如果逻辑斯蒂增长模型无法帮我们预测一个流行趋势将在何时稳定下来，那它到底有什么作用呢？难道它就只是一个民间故事，一个以图表形式呈现的故事？

或许是吧，但不要小瞧这一点。我们每个人都是讲故事的生物，而叙述的手法建构了我们的行为、思想，以及我们的外卖订单。即使不能预测未来，逻辑斯蒂增长的神话故事也可以丰富我们的思维，突出关键的时刻，并指引未来可能的发展方向。

数学模型描绘了一个复杂到无法完整表达的现实。对复杂的问题稍微简化一下是人类再正常不过的反应——只要我们在玩玩具之前先阅读一下细则就行。